Momentos de las variables aleatorias múltiples

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Transcripción de 3_10_1_valor_esperado_momentos_correlacion.md posee varios errores. Falta de corregir

Valor esperado de una función de variables aleatorias

El valor esperado de una función de variables aleatorias se define como el promedio ponderado de los valores que puede tomar esta función.

Para variables aleatorias discretas $X$ y $Y$, y una función $g(X,Y)$, el valor esperado se define como:

$$E[g(X,Y)]=\sum _x\sum _{y}g(x,y)\cdot P_{X,Y}(x,y)$$

Para variables aleatorias continuas:

$$E[g(X,Y)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,y)\cdot f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

Ejemplo: Valor esperado de una función de variables aleatorias

El PDF conjunto de la cantidad $X$ de almendras y la cantidad $Y$ de semillas de marañón (y la cantidad $Z$ de maní) en un tarro de 1 kg es: Sean los valores de (x) y (y) tales que:

• x está entre 0 y 1,
• y está entre 0 y 1,
• y la suma x + y es menor o igual que 1.

$$f_{X,Y}(x,y)=24xy$$

En cualquier otro caso:

$$f_{X,Y}(x,y)=0$$

Si 1 kg de almendras le cuesta a la compañía ₡6000, un kilogramo de semillas de marañón son ₡10.000 y 1 kg de maní cuesta ₡3.500.
¿Cuál es el costo esperado total del contenido del tarro? Sea la función del costo

$$h(X,Y)=6000X+10000Y+3500(1-X-Y)$$

Entonces,

$$E[h(X,Y)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$$

Se reduce a:

$$E[h(X,Y)]={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}[6000x+10000y+3500(1-x-y)]24xydydx$$$$=7100$$

que representa los costos esperados del contenido de la caja.

Momentos conjuntos alrededor del origen

Los momentos conjuntos alrededor del origen miden el comportamiento combinado de dos variables aleatorias. Para dos variables aleatorias X y Y se denotan por mₙₖ = E[XⁿYᵏ] y se definen por:

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Falta fórmula aquí.

Casos especiales

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Faltan muchas fórmulas aquí.

Ejemplo de la ubicación del “centro de gravedad” I:

Sección 3: La correlación

La covarianza entre dos variables aleatorias mide cómo varían ambas respecto a sus medias.

El momento de segundo orden m₁₁ = E[XY] es denominado la correlación de X y Y.
Recibe el símbolo especial Rₓᵧ por su importancia.

$$R_{XY}=m_{11}=E[XY]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xy{f}_{X,Y}(x,y)dxdy$$

Interpretaciones posibles

• “La correlación es el grado en el cual dos o más cantidades están linealmente asociadas”.
• Pero (fundamental) “correlación no implica causalidad”.

Ejemplo de correlación del tarro de nueces

El PDF conjunto de la cantidad X de almendras, la cantidad Y de semillas de marañón y la cantidad Z de maní en un tarro de 1 kg está dado por:

Sea $f_{X,Y}(x,y)=24xy$ en el dominio:

• x está entre 0 y 1,
• y está entre 0 y 1,
• y la suma x + y es menor o igual que 1.

¿Cuál es la correlación entre X y Y?

$$={\int }_0^1{\int }_0^{1-y}xy\cdot 24xydxdy=24{\int }_0^1{y}^2\left({\int }_0^{1-y}{x}^{2}dx\right)dy$$$$=\frac{24}{3}{\int }_0^1{y}^2(1-y{)}^{3}dy$$$$=\frac{24}{3}{[-\frac{y^6}{6}+\frac{3y^5}{5}-\frac{3y^4}{4}+\frac{y^3}{3}]}_0^1=\frac{2}{15}\approx 0,13$$

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Falta fórmula en el ejemplo anterior.

Independencia y correlación

Independencia y correlación

La independencia estadística de $X$ y $Y$ es suficiente para garantizar que no están correlacionadas.

El recíproco de esta afirmación, que $X$ y $Y$ son independientes si no están correlacionadas, no es necesariamente cierto.
Una excepción importante: variables gaussianas no correlacionadas sí son independientes.

Ortogonalidad

Ortogonalidad

Si $R_{XY}=0$ para dos variables aleatorias $X$ y $Y$, estas se denominan ortogonales.

En síntesis

• Si $R_{XY}=E[XY]=E[X]E[Y]$, entonces $X$ y $Y$ no están correlacionadas.
• La independencia, es decir, $f_{XY}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$, garantiza que no estén correlacionadas, pero no a la inversa.
• Si $R_{XY}=0$, las variables son ortogonales.

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Correlación y ortogonalidad entre $X$ y $Y$

Sea $X$ una variable aleatoria con valor medio $\bar{X}=E[X]=3$ y varianza ${\sigma }_X^2=2$, y sea $Y=-6X+22$.

Determinar si $X$ y $Y$ están correlacionadas y si son ortogonales.

1. Calculamos el segundo momento de $X$ alrededor del origen:

$$E[X^2]={\sigma }_X^2+{(E[X])}^2=2+9=11$$

2. Valor esperado de $Y$:

$$E[Y]=-6E[X]+22=-6\cdot 3+22=4$$

3. Producto cruzado:

$$\begin{array}{rl}{R}_{XY}& =E[XY]\\ & =E[X(-6X+22)]=E[-6X^2+22X]\\ & =-6E[X^2]+22E[X]=-6(11)+22(3)=0\end{array}$$

$X$ y $Y$ son ortogonales porque $R_{XY}=0$.
Sin embargo, no están no correlacionadas en el sentido de la media, ya que $E[X]E[Y]=3\cdot 4=12\ne R_{XY}$.

Nota

Dos variables aleatorias pueden ser ortogonales incluso si una es función lineal de la otra: $Y=aX+b$.

Momentos centrales conjuntos

Momentos centrales conjuntos

Para dos variables aleatorias $X$ y $Y$:

$$\begin{array}{rl}{\mu }_{nk}& =E[(X-\bar{X}{)}^n(Y-\bar{Y}{)}^k]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x-\bar{X}{)}^n(y-\bar{Y}{)}^k{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

Momentos importantes:

• ${\mu }_{20}=E[(X-\bar{X}{)}^2]={\sigma }_X^2$
• ${\mu }_{02}=E[(Y-\bar{Y}{)}^2]={\sigma }_Y^2$

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Covarianza de dos variables aleatorias

Covarianza

La covarianza $C_{XY}$ es el momento central conjunto de orden (1,1):

$$\begin{array}{rl}{C}_{XY}& =E[(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x-\bar{X})(y-\bar{Y})f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =E[XY]-E[X]E[Y]=R_{XY}-E[X]E[Y]\end{array}$$

Propiedades:

1. Si $X$ y $Y$ son independientes o no correlacionadas: $C_{XY}=0$
2. Si $X$ y $Y$ son ortogonales: $C_{XY}=-E[X]E[Y]$
   • Si además $E[X]=0$ o $E[Y]=0$, entonces $C_{XY}=0$

Coeficiente de correlación de Pearson

El coeficiente de correlación normalizado es:

$$\rho =\frac{{\mu }_{11}}{\sqrt{{\mu }_{20}{\mu }_{02}}}=\frac{C_{XY}}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$

También puede escribirse como:

$$\begin{array}{rl}\rho & =\frac{E[(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})]}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\\ & =E[\frac{(X-\bar{X})}{{\sigma }_X}\cdot \frac{(Y-\bar{Y})}{{\sigma }_Y}]\end{array}$$

Rango: $-1\le \rho \le 1$

Visualización de casos especiales del coeficiente de correlación de Pearson

Funciones características conjuntas

Definición

La función característica conjunta de dos variables aleatorias $X$ y $Y$ está definida por:

$${\mathrm{\Phi }}_{X,Y}({\omega }_1,{\omega }_2)=E\left[e^{j{\omega }_{1}X+j{\omega }_{2}Y}\right]$$

donde ${\omega }_1,{\omega }_2$ son números reales. Una forma equivalente es:

$${\mathrm{\Phi }}_{X,Y}({\omega }_1,{\omega }_2)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{X,Y}(x,y)e^{j{\omega }_{1}x+j{\omega }_{2}y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

Lo anterior es la transformada bidimensional de Fourier (con signos cambiados para ${\omega }_1,{\omega }_2$) de la función de densidad conjunta. De la transformada inversa de Fourier se tiene:

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_{X,Y}({\omega }_1,{\omega }_2)e^{-j{\omega }_{1}x-j{\omega }_{2}y}\mathrm{d}{\omega }_1\mathrm{d}{\omega }_2$$

Con poner ${\omega }_2=0$ u ${\omega }_1=0$, se obtiene las funciones características de $X$ o $Y$, de ${\mathrm{\Phi }}_{X,Y}({\omega }_1,{\omega }_2)$. Estas se llaman funciones características marginales:

• ${\mathrm{\Phi }}_X({\omega }_1)={\mathrm{\Phi }}_{X,Y}({\omega }_1,0)$
• ${\mathrm{\Phi }}_Y({\omega }_2)={\mathrm{\Phi }}_{X,Y}(0,{\omega }_2)$

Los momentos conjuntos $m_{nk}$ pueden hallarse de la función característica conjunta como sigue:

$$m_{nk}={(-j{)}^{n+k}\frac{{\partial }^{n+k}{\mathrm{\Phi }}_{X,Y}({\omega }_1,{\omega }_2)}{\partial {\omega }_1^n\partial {\omega }_2^k}|}_{{\omega }_1=0,{\omega }_2=0}$$