Funciones de correlación de los procesos aleatorios

Introducción

Las funciones de correlación y covarianza cuantifican el grado de relación lineal entre un mismo proceso aleatorio en distintos de tiempo (auto) y entre dos procesos distintos (cruzada).

Sus propiedades tienen interpretaciones importantes en el procesamiento de señales.

Función de autocorrelación

Autocorrelación

La autocorrelación de un proceso aleatorio $X(t)$ es la correlación $E[X_1{X}_2]$ de dos variables aleatorias $X_1=X(t_1)$ y $X_2=X(t_2)$ definidas por el proceso en tiempos $t_1$ y $t_2$.

$$R_{XX}(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]$$

Con $t_1=t$ y $t_2=t_1+\tau$

$$R_{XX}(t,t+\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]$$

Si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio, $R_{XX}(t,t+\tau )$ es función únicamente de la diferencia $\tau =t_2-t_1$,

$$R_{XX}(\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]$$

Propiedades de la función de autocorrelación

1. El valor máximo de $R_{XX}(\tau )$ está en $\tau =0$, por tanto está acotado en el origen.

$$|R_{XX}(\tau )|\le R_{XX}(0)$$

2. La autocorrelación tiene simetría par.

$$R_{XX}(-\tau )=R_{XX}(\tau )$$

3. El valor máximo es igual a la media del cuadrado (o valor cuadrático medio), llamado también la potencia del proceso.

$$R_{XX}(0)=E[X^2(t)]$$

4. Si $X(t)$ es ergódico sin componentes periódicos, y además $E[X(t)]=\bar{X}\ne 0$, entonces

$$\underset{|\tau |\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_{XX}(\tau )={\bar{X}}^2$$

• Si $X(t)$ es ergódico sin componentes periódicos, con media cero, entonces

$$\underset{|\tau |\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_{XX}(\tau )=0$$

5. Si $X(t)$ tiene un componente periódico, entonces $R_{XX}(\tau )$ tendrá un componente periódico con el mismo periodo.

Propiedades de autocorrelación

Para un proceso estacionario $\text{WSS}$ y ergódico $\text{ERG}$, sin componentes periódicos, en

$$R_{XX}(\tau )=25+\frac{4}{1+6{\tau }^2}$$

encontrar el valor medio y la varianza del proceso.

La propiedad 4 establece que ${\displaystyle \underset{|\tau |\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_{XX}(\tau )={\bar{X}}^2}$ y entonces

$$E[X(t)]=\bar{X}=\sqrt{25}=\pm 5$$

Nótese que tal propiedad solamente da la magnitud de $\bar{X}$ y no su signo.

Con la definición de varianza y la propiedad 3 dada por $R_{XX}(0)=E[X^2(t)]$ entonces

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_X^2& =E[X^2(t)]-(E[X(t)]{)}^2\\ & =R_{XX}(0)-{\bar{X}}^2\\ & =29-25=4\end{array}$$

Resultados:

• Valor medio: $\bar{X}=\pm 5$
• Varianza: ${\sigma }_X^2=4$

Función de correlación cruzada

Correlación cruzada

La función de correlación cruzada está definida por

$$R_{XY}(t,t+\tau )=E[X(t)Y(t+\tau )]$$

Propiedades de la función de correlación cruzada

1. Si $X(t)$ y $Y(t)$ son conjuntamente estacionarios en sentido amplio, $R_{XY}(t,t+\tau )$ será independiente del tiempo absoluto:

$$R_{XY}(\tau )=E[X(t)Y(t+\tau )]$$

2. Si $R_{XY}(t,t+\tau )=0$, entonces $X(t)$ y $Y(t)$ son procesos ortogonales.

3. Si los dos procesos son estadísticamente independientes, la función de correlación cruzada se convierte en:

   $$R_{XY}(t,t+\tau )=E[X(t)]E[Y(t+\tau )]$$

4. Si además de ser independientes, $X(t)$ y $Y(t)$ son al menos estacionarios en sentido amplio,

   $$R_{XY}(\tau )=\bar{X}\cdot \bar{Y}$$

   que es una constante.

5. Si los procesos son al menos estacionarios en sentido amplio, entonces:

   • $R_{XY}(-\tau )=R_{YX}(\tau )$
   • $|R_{XY}(\tau )|\le \sqrt{R_{XX}(0)R_{YY}(0)}$ (media geométrica)
   • $|R_{XY}(\tau )|\le \frac{1}{2}[R_{XX}(0)+R_{YY}(0)]$ (media aritmética)

Funciones de covarianza

Autocovarianza

Autocovarianza

La función de autocovarianza (momento conjunto central de orden dos) de un proceso estocástico está definida por:

$$C_{XX}(t,t+\tau )=\mathbb{E}[(X(t)-\mathbb{E}[X(t)])(X(t+\tau )-\mathbb{E}[X(t+\tau )])]$$

equivalente a:

$$C_{XX}(t,t+\tau )=R_{XX}(t,t+\tau )-\mathbb{E}[X(t)]\mathbb{E}[X(t+\tau )]$$

Covarianza cruzada

Covarianza cruzada

La función de covarianza cruzada para dos procesos ( X(t) ) y ( Y(t) ) está definida por:

$$C_{XY}(t,t+\tau )=\mathbb{E}[(X(t)-\mathbb{E}[X(t)])(Y(t+\tau )-\mathbb{E}[Y(t+\tau )])]$$

o, alternativamente:

$$C_{XY}(t,t+\tau )=R_{XY}(t,t+\tau )-\mathbb{E}[X(t)]\mathbb{E}[Y(t+\tau )]$$

Covarianza en procesos WSS

Para procesos que son al menos conjuntamente estacionarios en sentido amplio (WSS), las covarianzas son:

$$C_{XX}(\tau )=R_{XX}(\tau )-{\overline{X}}^2$$$$C_{XY}(\tau )=R_{XY}(\tau )-\overline{X}\cdot \overline{Y}$$

• La varianza de un proceso aleatorio está dada por la autocovarianza con ( \tau = 0 ).
• Para un proceso estacionario en sentido amplio, la varianza no depende del tiempo y está dada por:

$${\sigma }_X^2=\mathbb{E}[(X(t)-\mathbb{E}[X(t)]{)}^2]=R_{XX}(0)-{\overline{X}}^2$$

No correlación e independencia

Para dos procesos aleatorios, si:

$$C_{XY}(t,t+\tau )=0$$

entonces están no correlacionados, lo cual implica que:

$$R_{XY}(t,t+\tau )=\mathbb{E}[X(t)]\cdot \mathbb{E}[Y(t+\tau )]$$

Se concluye que procesos independientes son no correlacionados,
pero el recíproco no siempre es cierto (aunque sí lo es para procesos conjuntamente gaussianos).