Transformaciones monotónicas

Transformaciones monotónicas de una VA continua

Definición

Una transformación o función $T$ es monotónicamente creciente en un intervalo si

$$T(x_1)<T(x_2)\text{para cualquier}{x}_1<x_2$$

Transformaciones crecientes

Supóngase que $T$ es continua y diferenciable en todo valor de $x$ para el que $f_X(x)\ne 0$ (es decir, donde $X$ tiene soporte). Para un valor $x_0$ cualquiera en el intervalo se cumple que

$$y_0=T(x_0)\text{y}{x}_0=T^{-1}(y_0)$$

donde $T^{-1}$ representa el inverso de la transformación $T$.

Premisa (el método CDF)

La probabilidad del evento $\{Y\le y_0\}$ debe igualar la probabilidad del evento $\{X\le x_0\}$ debido a la correspondencia entre (X) e (Y).

Así entonces, debe cumplirse que

$$F_Y(y_0)=P\{Y\le y_0\}=P\{X\le x_0\}=F_X(x_0)$$

y mediante la definición de la CDF a partir de la PDF

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y_0}{f}_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x_0=T^{-1}(y_0)}{f}_X(x)\mathrm{d}x$$

Por lo que resta despejar para $f_Y(y)$, que es la función de interés.

Regla de Leibniz

Si $H(x,u)$ es continua en las variables $x$ y $u$, y además

$$G(u)={\int }_{\alpha (u)}^{\beta (u)}H(x,u)\mathrm{d}x$$

entonces la derivada de la integral respecto al parámetro $u$ es:

$$\frac{\mathrm{d}G(u)}{\mathrm{d}u}=H[\beta (u),u]\frac{\mathrm{d}\beta (u)}{\mathrm{d}u}-H[\alpha (u),u]\frac{\mathrm{d}\alpha (u)}{\mathrm{d}u}+{\int }_{\alpha (u)}^{\beta (u)}\frac{\partial H(x,u)}{\partial u}\mathrm{d}x$$

En nuestro escenario, y considerando que el límite inferior de $f_X(x)$ es $T^{-1}(y_a)$ y que es una constante (posiblemente $-\mathrm{\infty }$), aplica que

$$\begin{array}{c}{f}_Y(y_0)=f_X[T^{-1}(y_0),y_0]\frac{\mathrm{d}{T}^{-1}(y_0)}{\mathrm{d}{y}_0}\hfill \\ \hfill -f_X[T^{-1}(y_a),y_0](\frac{\mathrm{d}{T}^{-1}(y_a)}{\mathrm{d}y}=0)+{\int }_{T^{-1}(y_a)}^{T^{-1}(y_0)}(\frac{\partial f_X(x)}{\partial y}=0)\mathrm{d}x\end{array}$$

Transformación monotónica creciente

Con base en la regla de Leibniz, evaluada anteriormente, se obtiene

$$f_Y(y_0)=f_X[T^{-1}(y_0)]\frac{\mathrm{d}{T}^{-1}(y_0)}{\mathrm{d}{y}_0}$$

pero como la ecuación anterior aplica para cualquier $y_0$, se puede eliminar el subíndice y reescribir

$$\boxed{{\displaystyle f_Y(y)=f_X[T^{-1}(y)]\frac{\mathrm{d}{T}^{-1}(y)}{\mathrm{d}y}}}$$

que es la función de densidad buscada de $Y$, en términos de la transformación (inversa) aplicada a $X$, para $T$ monotónicamente creciente.

Transformación monotónica decreciente

Definición

Una transformación o función $T$ es monotónicamente decreciente en un intervalo si

$$T(x_1)>T(x_2)\text{para cualquier}{x}_1<x_2$$

Si se considera el caso de la transformación decreciente, se escribe:

$$F_Y(y_0)=P\{Y\le y_0\}=P\{X\ge x_0\}=1-F_X(x_0)$$

Siguiendo el mismo razonamiento usado para obtener la ecuación de Leibniz, se obtendrá

$$\boxed{{\displaystyle f_Y(y)=-f_X[T^{-1}(y)]\frac{\mathrm{d}{T}^{-1}(y)}{\mathrm{d}y}}}$$

Teorema de transformación monotónica

Dado que la pendiente de $T^{-1}(y)$ es negativa pues la función es decreciente, se concluye que para cualquier tipo de transformación monotónica:

"Teorema de transformación monotónica"

$$f_Y(y)=f_X[T^{-1}(y)]\left|\frac{\mathrm{d}{T}^{-1}(y)}{\mathrm{d}y}\right|$$

Recordatorio: Es importante notar que la ``monotonicidad'' se evalúa en la función $g(X)$ (la transformación $T(X)$) y no tiene que ver con la función de densidad $f_X(x)$ (error de análisis común).

Notación alternativa del teorema de transformación En ocasiones se utiliza la notación $Y=g(X)$ para la transformación, y $X=h(Y)$ como la transformación inversa. El teorema se enuncia entonces como

$$f_Y(y)=f_X[h(y)]\left|\frac{\mathrm{d}h(y)}{\mathrm{d}y}\right|$$

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Ejemplo de Disipación de potencia en un resistor

Sea $I$ una variable aleatoria que denota la corriente en un resistor $R$ de valor (1~\Omega).
$I$ tiene una distribución uniforme en el intervalo de 1 a 3 A, es decir:

$$f_I(i)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}& 1<i<3\\ 0& \text{en otra parte}\end{array}$$

¿Cuál es el promedio de la corriente $I$?
¿Cuál es el promedio de la potencia disipada en $R$, con $P=g(I)=I^{2}R$?

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Primero se hará el cálculo mediante E[g(I)] (como se hizo en una presentación anterior) y luego a través de la nueva función de densidad fP (p).

$$\begin{array}{rl}E[I]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}i\cdot f_I(i)\mathrm{d}i\\ & ={\int }_1^{3}i\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}i\\ & =2\text{A}\end{array}$$

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$$\begin{array}{rl}E[P]& ={\int }_1^3{i}^2\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}i\\ & =\frac{13}{3}\approx \boxed{{\displaystyle 4.33\text{W}}}\end{array}$$

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Es posible obtener $E[P]$ desde $f_P(p)$ por medio de la transformación $g(I)=P=I^{2}R$, con

$$h(P)=I=\sqrt{\frac{P}{R}},$$

y con los límites (1 < i < 3) y (1 < p < 9). Aplicando el teorema:

$$f_P(p)=f_I[h(p)]\cdot |h^{\prime }(p)|=f_I\left[\sqrt{\frac{p}{R}}\right]\cdot \left|\frac{(p/R{)}^{-1/2}}{2}\right|$$$$\begin{array}{rl}{f}_P(p)& =f_I\left(\sqrt{p}\right)\cdot {\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\sqrt{p}\right|}^{-1}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{1}{2\sqrt{p}}\right|=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{p}}\text{para }1<p<9}}\end{array}$$

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Y su promedio es:

$$\begin{array}{rl}E[P]& ={\int }_1^{9}p\cdot \frac{1}{4\sqrt{p}}\mathrm{d}p=\frac{1}{4}{\int }_1^9\sqrt{p}\mathrm{d}p\\ & =\frac{1}{4}\cdot {\frac{2}{3}{p}^{3/2}|}_1^9=\frac{13}{3}\approx \boxed{{\displaystyle 4.33\text{W}}}\end{array}$$

IMAGEN DE DISIPACIÓN LINEAL

Simulación de la potencia en un resistor

import numpy as np

from scipy import stats

# Inicialización de vectores

N = 500

Irvs = [0]*N

P = [0]*N

# Distribución de la corriente

I = stats.uniform(1, 2)

# Simulación

for i in range (N):

Irvs[i] = I.rvs()

P[i] = Irvs[i]**2

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Ejemplo de distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria

Sea $X\sim \mathsf{unif}(0,1)$ (es decir, $f_X(x)=1$ en (0 \leq x \leq 1)).
Se define una nueva variable $Y=2\sqrt{X}$. Encuentre $f_Y(y)$.

La función $g(X)=2\sqrt{X}$ es monótona en ([0, 1]) y tiene una inversa $h(y)=\frac{y^2}{4}$.

Se aplica el teorema:

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =f_X(h(y))|h^{\prime }(y)|=(1)\left|\frac{d}{dy}\frac{y^2}{4}\right|\\ & =\frac{2y}{4}\\ \boxed{{\displaystyle f_Y(y)=\frac{y}{2}\text{en}y\in [0,2]}}\end{array}$$

Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor

La variación en cierta fuente de corriente eléctrica $X$ (en miliamperios) puede ser modelada por el PDF

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1.25-0.25x& 2\le x\le 4\\ 0& \text{en otros casos}\end{array}$$

Si esta corriente pasa por un resistor de (220, \Omega), la potencia disipada es dada por la expresión $Y=220X^2$.
¿Cuál es la función de densidad de $Y$?

La función $y=g(x)=220x^2$ es monótonamente creciente en el rango de $X$, ([2,4]), y tiene función inversa
$x=h(y)=g^{-1}(y)=\sqrt{\frac{y}{220}}$.

Aplicando el teorema de transformación, entonces,

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =f_X(h(y))|h^{\prime }(y)|\\ & =f_X\left(\sqrt{\frac{y}{220}}\right)\left|\frac{d}{dy}\sqrt{\frac{y}{220}}\right|\\ & =(1.25-0.25\sqrt{\frac{y}{220}})\frac{1}{2\sqrt{220y}}\\ & =\frac{1}{2\sqrt{220y}}-\frac{1}{1760}\end{array}$$

Y por tanto,

$$\boxed{{\displaystyle f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{220y}}-\frac{1}{1760}& 880\le y\le 3520\\ 0& \text{en otra parte}\end{array}}}$$

Ejemplo Transformación de variable aleatoria $T$

Hay una variable aleatoria $T$ distribuida uniformemente en el intervalo ([1,7]). Sobre ella se aplica una transformación

$$U=T^2-T-6$$

1. Encontrar $f_U(u)$, la función de densidad probabilística de la variable aleatoria $U$.
2. Calcular $P\{-4<U\le 14\}$.

Parte 1: Encontrar $f_U(u)$, la función de densidad probabilística de la variable aleatoria $U$.

La variable aleatoria $T$ dada es

$$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{6}& 1\le t\le 7\\ 0& \text{en otra parte}\end{array}$$

La transformación $U=g(T)$ es monótonamente creciente en el intervalo ([1,7]), por tanto es posible utilizar la fórmula

$$f_U(u)=f_T(h(u))|\frac{d}{du}h(u)|$$

donde $h(u)$ es la función inversa.

Se obtiene $h(u)$ de la forma

$$\begin{array}{rl}u& =t^2-t-6\\ 0& =t^2-t-(u+6)\\ t& =\frac{1\pm \sqrt{1-4(-u-6)}}{2}\text{(fórmula general)}\\ & =\frac{1\pm \sqrt{4u+25}}{2}\end{array}$$

Se elige la solución positiva, y queda

$$h(u)=\frac{1+\sqrt{4u+25}}{2}$$

Ahora, para derivar la función inversa, se utiliza regla de la cadena

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{du}h(u)& =\frac{d}{du}\left[\frac{1+\sqrt{4u+25}}{2}\right]\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{2\sqrt{4u+25}}=\frac{1}{\sqrt{4u+25}}\end{array}$$

Y entonces, se evalúa

$$f_U(u)=f_T(h(u))|\frac{d}{du}h(u)|=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{4u+25}}$$

Evaluando también los límites de $T$ en la transformación $g(T)$, la función de densidad buscada es

$$\boxed{{\displaystyle f_U(u)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{6\sqrt{4u+25}}& -6\le u\le 36\\ 0& \text{en otra parte}\end{array}}}$$

Parte 2: Calcular $P\{-4<U\le 14\}$

La probabilidad $P\{-4<U\le 14\}$ requiere la integración de $f_U(u)$ en ese intervalo. Esta integral puede ser más o menos difícil de evaluar, pero es posible calcularla numéricamente con las calculadoras científicas comunes, resultando

$$P\{-4<U\le 14\}={\int }_{-4}^{14}\frac{1}{6\sqrt{4u+25}}du=\boxed{{\displaystyle 0.5}}$$

En todo caso, la integral (a partir de una tabla de integrales) es

$$\int \frac{1}{6\sqrt{4u+25}}du=\frac{1}{12}\sqrt{4u+25}$$

y la evaluación en ([-4, 14]) da en efecto igual a 0.5.