Transformaciones no monotónicas

Transformaciones no monotónicas de una va continua

En general, puede ser que haya más de un intervalo de valores de $X$ que correspondan al evento $\{Y\le y_0\}$. Por ejemplo, puede darse el caso que, para un dado $y_0$, el evento $\{Y\le y_0\}$ corresponde al evento $\{X\le x_1,x_2\le X<x_3\}$.

Premisa. La probabilidad del evento $\{Y\le y_0\}$ iguala la probabilidad del evento $\{\text{valores de }x\text{ que dan }Y\le y_0\}$ que se escribirá como $\{x:Y\le y_0\}$. En otras palabras,

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y_0)& =P\{Y\le y_0\}\\ & =P\{x:Y\le y_0\}={\int }_{\{x:Y\le y_0\}}{f}_X(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

Se puede derivar formalmente el resultado anterior para obtener la densidad de $Y$

$$f_Y(y_0)=\frac{\mathrm{d}}{d{y}_0}{\int }_{\{x:Y\le y_0\}}{f}_X(x)\mathrm{d}x$$

Y la función de densidad está dada (sin demostración) por

Teorema de transformación no monotónica

$f_Y(y)=\sum _n\frac{f_X(x_n)}{\left|\frac{\mathrm{d}}{dx}{T(x)|}_{x=x_n}\right|}$ donde la suma incluye las raíces $x_n,n=1,2,\dots ,$ que son las soluciones reales de la ecuación $y=T(x)$. Si $y=T(x)$ no tiene raíces reales para un valor dado de $y$, entonces $f_Y(y)=0$.

Ejemplo de la transformación de ley cuadrada

Hallar $f_Y(y)$ para la transformación de ley cuadrada $Y=T(X)=c{X}^2$, donde $c>0\in \mathbb{R}$.

No hay más información sobre $X$ pero se asumirá que tiene soporte en todo $\mathbb{R}$ (o que al menos tiene valores positivos y negativos, y por tanto no es monotónica la transformación $Y=c{X}^2$). Por el tipo de transformación, el dominio de $Y$ es $y>0$.

Para la solución se utilizará dos métodos.

Método 1 : El método CDF --- El evento $\{Y\le y\}$ ocurre cuando $\{-\sqrt{y/c}\le x\le \sqrt{y/c}\}=\{x:Y\le y\}$, con lo que

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& ={\int }_{-\sqrt{y/c}}^{\sqrt{y/c}}{f}_X(x)dx\\ f_Y(y)& ={\displaystyle \frac{d}{dy}}{\int }_{-\sqrt{y/c}}^{\sqrt{y/c}}{f}_X(x)dx\text{CDF}\Rightarrow \text{PDF}\end{array}$$

Se aplica ahora la regla de Leibniz:

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =f_X(\sqrt{y/c})\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)\\ & -f_X(-\sqrt{y/c})(-\frac{1}{\sqrt{c}})\left(\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)\\ & =\boxed{{\displaystyle \frac{f_X(\sqrt{y/c})+f_X(-\sqrt{y/c})}{2\sqrt{yc}}\text{para}y>0}}\end{array}$$

Método 2 : Por el teorema de transformación

Si se despeja $X$ de la ecuación $Y=c{X}^2$ se encuentra:

$$\begin{array}{rl}Y/c& =X^2\\ X& =\pm \sqrt{Y/c}\end{array}$$

de modo que las soluciones son $x_1=-\sqrt{y/c}$, y $x_2=\sqrt{y/c}$. Además, $\frac{\mathrm{d}}{dx}T(x)=2xc,$

$${\frac{\mathrm{d}}{dx}T(x)|}_{x=x_1}=2c[-\sqrt{\frac{y}{c}}]=-2\sqrt{yc}$$$${\frac{\mathrm{d}}{dx}T(x)|}_{x=x_2}=2c\left[\sqrt{\frac{y}{c}}\right]=2\sqrt{yc}$$

Finalmente, se evalúa en la ecuación:

$$f_Y(y)=\sum _n\frac{f_X(x_n)}{\left|\frac{\mathrm{d}}{dx}{T(x)|}_{x=x_n}\right|}$$

y se obtiene

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\frac{f_X(-\sqrt{y/c})}{|-2\sqrt{cy}|}+\frac{f_X(\sqrt{y/c})}{|2\sqrt{yc}|}\\ & =\boxed{{\displaystyle \frac{f_X(-\sqrt{y/c})+f_X(\sqrt{y/c})}{2\sqrt{yc}}\text{para}y\ge 0}}\end{array}$$

confirmando el resultado.

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Ejemplo de la transformación cuadrática de una va normal

Para la transformación $Y=T(X)=X^2$, encontrar $f_Y(y)$ con $X\sim \mathcal{N}(0,1)$.

Utilizando el resultado de la ecuación anterior con $c=1$, y conociendo además que

$$X\sim \mathcal{N}(0,1)⟶f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\frac{f_X(-\sqrt{y})+f_X(\sqrt{y})}{2\sqrt{y}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(-\sqrt{y}{)}^2/2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-(\sqrt{y}{)}^2/2}}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-y/2}\end{array}$$

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