Características espectrales de los procesos aleatorios

Cuando los procesos estocásticos describen señales (funciones unidimensionales en el tiempo), es posible analizarlos según sus características espectrales, es decir, relativas a la frecuencia.

Esto es útil en aplicaciones de procesamiento de señales: sensores, audio, sistemas de control, comunicaciones, estabilidad de sistemas de potencia, etc.

Espectro de densidad de potencia

El espectro de densidad de potencia de una señal aleatoria describe cómo se distribuye su potencia en todas las frecuencias.

• Esta es una descripción[^1] de $X(t)$ en el dominio de la frecuencia.
• Por otra parte, las propiedades estadísticas de los procesos estocásticos, como las funciones de la media, la varianza, la autocovarianza, la autocorrelación, etc., son descripciones de $X(t)$ en el dominio del tiempo.

[^1]: Conocida en inglés como PSD (Power Spectral Density).

Premisa

Es posible interpretar $X^2(t)$ como la "potencia instantánea" en $t$ contenida en el proceso aleatorio $X(t)$, que es una familia de funciones del tiempo.

En teoría de circuitos, la potencia disipada en un resistor es

$$p_R(t)=i^2(t)R=v^2(t)/R$$

Definiciones preliminares

• Función muestra de $X(t)$: Sea $x_T(t)$ una porción de una función muestra $x(t)$ definida entre $-T$ y $T$, de modo que

  $$x_T(t)=\{\begin{array}{ll}x(t)& -T<t<T\\ 0& \text{fuera del intervalo}\end{array}$$

• Área bajo la curva es finita: Si $T$ es finito, se supone que $x_T(t)$ cumple

  $${\int }_{-T}^T|x_T(t)|\mathrm{d}t<\mathrm{\infty }$$

• Función en el dominio de la frecuencia: $x_T(t)$ tiene una transformada de Fourier $X_T(\omega )$

  $$X_T(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_T(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t={\int }_{-T}^{T}x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$

• Energía $E(T)$ de $x_T(t)$: En el intervalo $[-T,T]$ la energía contenida es

  $$E(T)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_T^2(t)\mathrm{t}={\int }_{-T}^T{x}^2(t)\mathrm{d}t$$

• Relación entre la energía en el tiempo y en la frecuencia: La energía de $x_T(t)$ está relacionada con la de $X_T(\omega )$ por el teorema de Parseval,

  $$E(T)={\int }_{-T}^T{x}^2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|X_T(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega$$

• Potencia promedio $P(T)$: Al dividir ambas expresiones por $2T$, se obtiene la potencia promedio $P(T)$ en $x(t)$ sobre el intervalo $[-T,T]$:

  $$P(T)=\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{x}^2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{|X_T(\omega ){|}^2}{2T}\mathrm{d}\omega$$

Deducción

En esta ecuación, $|X_T(\omega ){|}^2/2T$ es una densidad espectral de potencia porque de la integración sobre todo $\omega$ se obtiene la potencia.

$$P(T)=\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{x}^2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{|X_T(\omega ){|}^2}{2T}\mathrm{d}\omega$$

Sin embargo, no es todavía la función que necesitamos, por tres razones:

1. No representa la potencia de una función muestra completa
2. Es la potencia en una sola función muestra y no representa a todo el proceso
3. $P(T)$ es realmente una variable aleatoria (y no un valor) con respecto al proceso aleatorio (por la aleatoriedad de las funciones muestra)

Por lo anterior, la estrategia para encontrar la potencia promedio de $X(t)$ (denotada como $P_{XX}$) es hacer $P_{XX}=E[P(\mathrm{\infty })]$

$$P_{XX}=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}E[X^2(t)]\mathrm{d}t$$$$P_{XX}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{E[|X_T(\omega ){|}^2]}{2T}\mathrm{d}\omega$$

De aquí se obtienen las dos importantes conclusiones siguientes.

Potencia Promedio de un proceso estocástico

!!! tip "La potencia promedio $P_{XX}$ de un proceso estocástico"" $P_{XX}=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}E[X^2(t)]\mathrm{d}t=A\{E[X^2(t)]\}$

Es decir, está dada por el promedio temporal de su segundo momento ordinario, que es también $R_{XX}(0)$.

Caso del proceso estacionario

Para un proceso que es a lo menos estacionario en sentido amplio $E[X^2(t)]=\overline{X^2}$, una constante, con lo que $P_{XX}=\overline{X^2}$.

Densidad espectral de potencia de un proceso estocástico

Densidad espectral de potencia

$${\mathcal{S}}_{XX}(\omega )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{E[|X_T(\omega ){|}^2]}{2T}$$

De aquí, $P_{XX}$ puede obtenerse con una integración en el dominio de la frecuencia como

$$P_{XX}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{S}}_{XX}(\omega )\mathrm{d}\omega$$

Relación de Parseval

Sean $f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}F(\omega )$ y $g(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}G(\omega )$ pares de Fourier, entonces:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\bar{g}(t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{-j2\pi \omega t}\mathrm{d}\omega ][{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G({\omega }^{\prime })e^{j2\pi {\omega }^{\prime }t}\mathrm{d}{\omega }^{\prime }]\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega ){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G({\omega }^{\prime })\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j2\pi ({\omega }^{\prime }-\omega )t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}{\omega }^{\prime }\mathrm{d}\omega \\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G({\omega }^{\prime })\delta ({\omega }^{\prime }-\omega )\mathrm{d}{\omega }^{\prime }]\mathrm{d}\omega \\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )\bar{G}(\omega )\mathrm{d}\omega \end{array}$$

donde $\bar{z}$ es el complejo conjugado.

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Ejemplo de la potencia promedio de un proceso aleatorio

Considere el proceso estocástico

$$X(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\mathrm{\Theta })$$

donde $A$ y ${\omega }_0$ son constantes reales y $\mathrm{\Theta }$ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo $[0,\frac{\pi }{2}]$. ¿Cuál es la potencia promedio $P_{XX}$ en $X(t)$?

La potencia promedio es el promedio temporal del valor cuadrático medio, que se calcula a continuación.

Recordar la identidad trigonométrica ${\cos }^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2x))$

$$\begin{array}{rl}E[X^2(t)]& =E[A^2{\cos }^2({\omega }_{0}t+\mathrm{\Theta })]\\ & =E[\frac{A^2}{2}+\frac{A^2}{2}\cos (2{\omega }_{0}t+2\mathrm{\Theta })]\\ & =\frac{A^2}{2}+\frac{A^2}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{\pi }\cos (2{\omega }_{0}t+2\theta )\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{A^2}{2}+\left(\frac{A^2}{2}\right)\left(\frac{2}{\pi }\right){\frac{\sin (2{\omega }_{0}t+2\theta )}{2}|}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{A^2}{2}+\frac{A^2}{\pi }\{\frac{\sin (2{\omega }_{0}t+\pi )}{2}-\frac{\sin (2{\omega }_{0}t)}{2}\}\\ & =\frac{A^2}{2}+\frac{A^2}{\pi }\left[\frac{-2\sin (2{\omega }_{0}t)}{2}\right]\\ & =\frac{A^2}{2}-\frac{A^2}{\pi }\sin (2{\omega }_{0}t)\end{array}$$

El promedio temporal de la función anterior es:

$$\begin{array}{rl}A[E[X^2(t)]]& =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T[\frac{A^2}{2}-\frac{A^2}{\pi }\sin (2{\omega }_{0}t)]\mathrm{d}t\\ & =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}\{\frac{A^2}{2}(2T)+{\left[\frac{A^2}{\pi }\frac{\cos (2{\omega }_{0}t)}{2{\omega }_0}\right]|}_{-T}^T\}\\ & =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{1}{2T}\left(\frac{A^2}{2}2T\right)+\frac{1}{2T}\frac{A^2}{2{\omega }_0\pi }[\cos (2{\omega }_{0}T)-\cos (-2{\omega }_{0}T)]\}\\ P_{XX}& =\frac{A^2}{2}\end{array}$$

$P_{XX}=\frac{A^2}{2}$

Es equivalente a elevar al cuadrado el valor efectivo $V_{RMS}=A/\sqrt{2}$ de la onda.

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