Kurtosis

Momento central de orden cuatro

La kurtosis ${\kappa }_X$ se define como:

$${\kappa }_X=E\left[{\left(\frac{X-m_1}{{\sigma }_X}\right)}^4\right]-3$$

Y es un número adimensional descriptor del abultamiento de la variable aleatoria $\dots$

• $\dots$ si está "achatada" (${\kappa }_X<0$) → platicúrtica
• $\dots$ o es prominente (${\kappa }_X>0$) → leptocúrtica

La sustracción del 3 es una comparación con la distribución normal (que es siempre ${\kappa }_X=3$) la cual se diría no es ni achatada ni prominente.

Ejemplo para un $f_X(x)$ de los primeros cuatro momentos

Para el siguiente PDF, $f_X(x)$, determine los primeros cuatro momentos de la variable aleatoria.

¿Primeras impresiones sobre la media, la dispersión, la inclinación y la kurtosis?

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le x<0.5\\ 0.5& 0.5\le x<1.5\\ 0& \text{en otro caso}\end{array}$$

La media momento ordinario de orden uno,

$$m_1=E[X]={\int }_0^{0.5}x\cdot 1dx+{\int }_{0.5}^{1.5}x\cdot 0.5dx=0.625$$

La varianza momento central de orden dos,

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_X^2& =E[(X-m_1{)}^2]\\ & =E[X^2]-m_1^2\\ & ={\int }_0^{0.5}{x}^2\cdot 1dx+{\int }_{0.5}^{1.5}{x}^2\cdot 0.5dx-{0.625}^2\\ & =0.1927\end{array}$$

El significado de este número usualmente se aprecia en relación con otras densidades probabilísticas (¿qué tan disperso es uno en comparación con el otro?), y puede tener algún significado importante para el experimento (la precisión de fabricación, por ejemplo).

La inclinación (skewness) momento central de orden tres,

$$\begin{array}{rl}{S}_X& =\left[{\left(\frac{X-m_1}{{\sigma }_X}\right)}^3\right]\\ & ={\int }_0^{0.5}{\left(\frac{x-0.625}{0.439}\right)}^3\cdot 1dx\\ & +{\int }_{0.5}^{1.5}{\left(\frac{x-0.625}{0.439}\right)}^3\cdot 0.5dx\\ & =0.416\end{array}$$

Esto implica que está sesgada a la derecha.

La kurtosis momento central de orden cuatro,

$$\begin{array}{rl}{\kappa }_X& =\left[{\left(\frac{X-m_1}{{\sigma }_X}\right)}^4\right]\\ & ={\int }_0^{0.5}{\left(\frac{x-0.625}{0.439}\right)}^4\cdot 1dx\\ & +{\int }_{0.5}^{1.5}{\left(\frac{x-0.625}{0.439}\right)}^4\cdot 0.5dx-3\\ & =-0.105\end{array}$$

lo que implica que tiene una cima achatada.

Ejemplos de momentos para distribuciones usuales

Característica	Uniforme	Exponencial	Rayleigh
PDF	$\frac{1}{b-a}$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$\frac{x}{{\sigma }^2}{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}$
Media	$\frac{1}{2}(a+b)$	${\lambda }^{-1}$	$\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}$
Varianza	$\frac{1}{12}(b-a{)}^2$	${\lambda }^{-2}$	$\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2$
Inclinación	$0$	$2$	$\frac{2\sqrt{\pi }(\pi -3)}{(4-\pi {)}^{3/2}}\approx 0.63$
Kurtosis	$-\frac{6}{5}$	$6$	$-\frac{6{\pi }^2-24\pi +16}{(4-\pi {)}^2}\approx 0.24$

Videos y referencias en internet

-The Expected Value and Variance of Discrete Random Variables jbstatistics, https://youtu.be/Vyk8HQOckIE