Pruebas repetidas de Bernoulli

Definición

Pruebas de Bernoulli

Un tipo de experimento en el que solo hay dos resultados posibles en cualquier prueba.

• Sea $A$ el evento elemental que tiene uno de los dos resultados posibles como su elemento. $\bar{A}$ es el otro (y único) posible evento elemental.

• Se repetirá el experimento básico $N$ veces, y se calculará la probabilidad de que $A$ suceda $k$ veces (no necesariamente consecutivas, sino en cualquier orden).

• Los eventos elementales son estadísticamente independientes.

• El evento $A$ ocurre en cualquier ensayo con probabilidad:

$$\boxed{{\displaystyle P(A)=p}}$$

• El evento $\bar{A}$ entonces tiene la probabilidad complementaria:

  $$\boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-p=q}}$$

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Pruebas de Bernoulli o pruebas repetidas II.

• Ejemplo: después de $N$ ensayos del experimento básico, una secuencia posible (de muchas) es el evento $A$ ocurriendo $k$ veces seguidas, seguido por el evento $\bar{A}$ ocurriendo $N-k$ veces. Puesto que se asumió la independencia estadística de los ensayos, la probabilidad de esta secuencia particular es:

$$\begin{array}{rl}& \underset{k\text{ eventos }A}{\underbrace{P(A)P(A)\cdots P(A)}}\underset{N-k\text{ eventos }\bar{A}}{\underbrace{P(\bar{A})P(\bar{A})\cdots P(\bar{A})}}\\ & =p^k(1-p{)}^{N-k}\end{array}$$

• Hay otras secuencias que dan $k$ eventos $A$ y $N-k$ eventos $\bar{A}$. Por la independencia estadística, la probabilidad de cada una de estas secuencias es la misma.

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Pruebas de Bernoulli o pruebas repetidas III.

• Del análisis combinatorio, el número de maneras de tomar $k$ objetos de una colección de $N$ objetos es:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})=\frac{N!}{k!(N-k)!}={\complement }_k^N={}_N{\mathrm{C}}_k$$

La cantidad $(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})$ se conoce como coeficiente binomial.

Se obtiene entonces la, así llamada, distribución binomial:

$$\begin{array}{rl}P(k)& =P\{A\text{ ocurre exactamente }k\text{ veces}\}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})p^k(1-p{)}^{N-k}\\ & =(\text{el número de combinaciones})\times (\text{la probabilidad de cada una})\end{array}$$

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"Ejemplo de transmisión binaria de datos y errores I"

Un dato binario (0 o 1) se envía por una línea de transmisión con una probabilidad de error de 0.001. Si 1000 bits son enviados, ¿cuál es la probabilidad de que haya...

1. ...exactamente 5 errores:

$$P(\{\text{exactamente 5 errores}\})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{5})(0.001{)}^5(0.999{)}^{995}$$

2. ...o entre 2 y 5 errores?

$$P(\{\text{entre 2 y 5 errores}\})=\sum _{k=2}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{k})(0.001{)}^k(0.999{)}^{1000-k}$$

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Hay un problema con los números grandes

• ¡Los factoriales son difíciles de evaluar!
• Las potencias de muy alto orden también son difíciles de calcular.

Por eso existen dos aproximaciones de la distribución binomial que hacen más práctica su aplicación y su cálculo numérico ${}^1$:

a) Aproximación de De Moivre-Laplace
b) Aproximación de Poisson

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a) Aproximación de De Moivre-Laplace

Aproximaciones de las pruebas de Bernoulli

Fórmula de Stirling

Una aproximación de los factoriales de la forma:

$$m!\approx (2\pi m{)}^{\frac{1}{2}}{m}^m{e}^{-m}$$

para ( m ) grande. Entonces,

$$\boxed{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})p^k(1-p{)}^{N-k}\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi Np(1-p)}}\exp [-\frac{(k-Np{)}^2}{2Np(1-p)}]}}$$

Aplica para $N$, $k$, $(N-k)$ grandes, $k$ cerca de $Np$ tales que sus desviaciones de $Np$ (más arriba o más abajo) son pequeñas en magnitud relativas tanto a $Np$ como a $N(1-p)$.

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b) Aproximación de Poisson

Aproximaciones de las pruebas de Bernoulli

Esta aproximación es más sencilla de evaluar, pero tiene algunas restricciones adicionales. Si se cumple que:

• $k$ es pequeño
• $N$ y por tanto $(N-k)$ son grandes
• $p\ll 1$ y además $Np=\lambda \approx 1$

Entonces la expresión a continuación es una aproximación de la prueba de Bernoulli,

$$\boxed{{\displaystyle P(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})p^k(1-p{)}^{N-k}\approx \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }}}$$

llamada distribución de Poisson (aquí sin demostración).

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Interpretación de la aproximación de Poisson

Aproximaciones de las pruebas de Bernoulli

La distribución de Poisson describe situaciones enumerables como el número de personas en una fila durante un intervalo de tiempo.

Por ejemplo, si la tasa de llegada es $\lambda$ entonces la probabilidad de que hay $k$ personas en la fila está dada por

$$\boxed{{\displaystyle P(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }}}$$

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Ejemplo de transmisión binaria de datos y errores

Un dato binario (0 o 1) se envía por una línea de transmisión con una probabilidad de error de 0.001. Si 1000 bits son enviados, ¿cuál es la probabilidad de que haya...

Verificar en este ejemplo que:

• $k$ es pequeño: $k=5$
• $N$ y $(N-k)$ son grandes: $N=1000$ y $(N-k)=995$
• $p\ll 1$ y además $Np=\lambda \approx 1$, que son: $p=0.001$ y $Np=1000\cdot 0.001=1$

Entonces aplica la distribución de Poisson:

$$P(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

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Ejemplo de transmisión binaria de datos y errores

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que haya...

1. ...exactamente 5 errores:

$$\begin{array}{rl}P(\{\text{exactamente 5 errores}\})& \approx \frac{1^5{e}^{-1}}{5!}\\ & =0.003065\approx 0.3\mathrm{\%}\end{array}$$

2. ...o entre 2 y 5 errores?

$$\begin{array}{rl}P(\{\text{entre 2 y 5 errores}\})& \approx \frac{1^2{e}^{-1}}{2!}+\frac{1^3{e}^{-1}}{3!}+\frac{1^4{e}^{-1}}{4!}+\frac{1^5{e}^{-1}}{5!}\\ & =0.26365\approx 26.4\mathrm{\%}\end{array}$$

Computacionalmente, estas aproximaciones son mucho más sencillas de calcular.