Funciones que dan momentos

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Transcripción faltante de 2_7_1_generadora_caracteristica.md y falta diapositiva 25

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Ejemplo para un $f_X(x)$ triangular

Para el siguiente pdf $f_X(x)$ triangular, determine la función característica, ${\mathrm{\Phi }}_X(\omega )$, y la función generadora de momentos, $M_X(\nu )$, y a partir de ahí determine el primer momento ordinario (la media) y el segundo momento central (la varianza).

Gráfica	Expresión
	$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}x& 0\le x<1\\ 2-x& 1\le x<2\\ 0& \text{el resto}\end{array}$

Pasos de la solución:

Función característica:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_X(\omega )& =E[e^{j\omega x}]\\ & ={\int }_0^{1}x{e}^{j\omega x}dx+{\int }_1^2(2-x)e^{j\omega x}dx\\ & =e^{j\omega }{\left[\frac{\sin (\omega /2)}{\omega /2}\right]}^2\end{array}$$

Función generadora de momentos:

$$\begin{array}{rl}{M}_X(s)& =E[e^{sx}]\\ & ={\int }_0^{1}x{e}^{sx}dx+{\int }_1^2(2-x)e^{sx}dx\\ & =\frac{(e^s-1{)}^2}{s^2}\end{array}$$

Primer momento ordinario usando la definición:

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =E[X]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_X(x)dx\\ & ={\int }_0^{1}xxdx+{\int }_1^{2}x(2-x)dx\\ & =\frac{x^3}{3}{|}_0^1+x^2{|}_1^2-\frac{x^3}{3}{|}_1^2\\ & =1\text{ (Tiene sentido por la simetría)}\end{array}$$

Segundo momento central usando la definición:

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_X^2& =E[(X-\bar{X}{)}^2]\\ & =E[X^2]-(E[X]{)}^2\\ & ={\int }_0^1{x}^{2}x\mathrm{d}x+{\int }_1^2{x}^2(2-x)\mathrm{d}x-1\\ & =\frac{x^4}{4}{|}_0^1+\frac{2x^3}{3}{|}_1^2-\frac{x^4}{4}{|}_1^2-1\\ & =\frac{1}{6}\end{array}$$

Primer momento ordinario usando la MGF:

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =\frac{d}{ds}\left[{\left(\frac{e^s-1}{s}\right)}^2\right]{|}_{s=0}\\ & =2\left(\frac{e^s-1}{s}\right)\left(\frac{s{e}^s-e^s+1}{s^2}\right){|}_{s=0}\\ & =2(1)(1/2)\\ & =1\end{array}$$

Corresponde con el resultado anterior

Segundo momento central usando la MGF:

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_X^2& =E[(X-\bar{X}{)}^2]=E[X^2]-(E[X]{)}^2\\ E[X^2]=\frac{d^2}{d{s}^2}{M}_X(s){|}_{s=0}& =\frac{d^2}{d{s}^2}(1+\frac{s}{2!}+\frac{s^2}{3!}+\cdots +\frac{s^{n-1}}{n!}+\cdots ){|}_{s=0}\\ & =\frac{d^2}{d{s}^2}(1+\cdots +\frac{s^2}{4}+\frac{2s^2}{6}+\cdots ){|}_{s=0}\\ & =\frac{d^2}{d{s}^2}(1+\cdots +\frac{7s^2}{12}+\cdots ){|}_{s=0}=\frac{7}{6}\\ {\sigma }_X^2& =E[X^2]-(E[X]{)}^2=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}\end{array}$$

Corresponde con el resultado anterior

En resumen:

Función característica:

$${\mathrm{\Phi }}_X(\omega )=e^{j\omega }{\left[\frac{\sin (\omega /2)}{\omega /2}\right]}^2$$

Función generadora de momentos:

$$M_X(s)=\frac{(e^s-1{)}^2}{s^2}$$

Primer momento ordinario usando la definición:

$$m_1=1$$

Segundo momento central usando la definición:

$${\sigma }_X^2=\frac{1}{6}$$

Primer momento ordinario usando la MGF:

$$m_1=1$$

Segundo momento central usando la MGF:

$${\sigma }_X^2=\frac{1}{6}$$

Unicidad de las funciones que dan momentos

La MGF (Moment Generating Function, función generadora de momentos) y la CF (Characteristic Function, función característica) son únicas para cada distribución y representan una descripción completa de la variable aleatoria, tanto como lo son la CDF (Cumulative Distribution Function, función de distribución acumulativa) y la PDF (Probability Density Function, función de densidad probabilística).

	Uniforme	Exponencial	Rayleigh
PDF	$\frac{1}{b-a}$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$\frac{x}{{\sigma }^2}{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}$
MGF	$\{\begin{array}{ll}\frac{e^{\nu b}-e^{\nu a}}{\nu (b-a)}& \text{para }\nu \ne 0\\ 1& \text{para }\nu =0\end{array}$	$\frac{\lambda }{\lambda -\nu },\nu <\lambda$	$1+\sigma \nu e^{{\sigma }^2{\nu }^2/2}\dots$
CF	$\{\begin{array}{ll}\frac{e^{j\omega b}-e^{j\omega a}}{j\omega (b-a)}& \text{para }\omega \ne 0\\ 1& \text{para }\omega =0\end{array}$	$\frac{\lambda }{\lambda -j\omega }$	$1-\sigma \omega e^{-{\sigma }^2{\omega }^2/2}\dots$

Ejemplo de determinación de la función característica

Ejemplo de determinación de la función característica

Se define una variable aleatoria discreta $Y$ con la función de densidad probabilística:

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)=& P\{X\le x_1\}\delta (y-1)\\ & +P\{x_1<X\le x_2\}\delta (y-2)\\ & +P\{x_2<X\le x_3\}\delta (y-3)\\ & +P\{x_3<X<\mathrm{\infty }\}\delta (y-4)\end{array}$$

donde $X$ es una variable aleatoria gaussiana de media 50 y desviación estándar $\sigma =10$, con $x_1=25$, $x_2=40$ y $x_3=60$.

Se solicita:

1. Graficar ${\displaystyle f_Y(y)}$ utilizando los valores de probabilidades.
2. Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$.
3. Calcular ${\displaystyle E[Y^2]}$ y la varianza.

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Parte 1: Graficar $f_Y(y)$ utilizando los valores correspondientes de probabilidades.

Para darle valores a la función de densidad $f_Y(y)$ es necesario normalizar $Z$ y calcular (con tabla o programa de cómputo):

$$Z=\frac{X-50}{10}$$

Figura 1: Distribución Gaussiana normalizada (representación gráfica)

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• $P\{X\le 25\}=F_X(25)=F_Z(-2.50)=1-F_Z(2.50)=1-0.9938=\mathbf{0.0062}$
• $P\{25<X\le 40\}=F_X(40)-F_X(25)=\mathbf{0.1525}$
• $P\{40<X\le 60\}=F_X(60)-F_X(40)=\mathbf{0.6826}$
• $P\{60<X<\mathrm{\infty }\}=F_X(\mathrm{\infty })-F_X(60)=\mathbf{0.1587}$

Observar que $0.0062+0.1525+0.6826+0.1587=1$ Así entonces, la función de densidad discreta (PMF) de Y se reescribe como:

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)=& 0.0062\delta (y-1)\\ & +0.1525\delta (y-2)\\ & +0.6826\delta (y-3)\\ & +0.1587\delta (y-4)\end{array}$$

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Figura: Función de densidad discreta (PMF) de la va Y (no está a escala).

Parte 2: Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$

Por definición, la función característica es:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_X(\omega )& =E\left[e^{j\omega X}\right]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)e^{j\omega x}dx\end{array}$$

Aplicando a la variable aleatoria $Y$ resulta:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_Y(\omega )& =E\left[e^{j\omega Y}\right]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_Y(y)e^{j\omega y}dy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[0.0062\delta (y-1)+0.1525\delta (y-2)\\ & +0.6826\delta (y-3)+0.1587\delta (y-4)]e^{j\omega y}dy\end{array}$$

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Recordatorio sobre la función impulso

La función impulso o delta de Dirac está definida como:

$$\delta (x-x_0)=\{\begin{array}{ll}+\mathrm{\infty }& x=x_0\\ 0& \text{en otra parte}\end{array}$$

Y su integral es:

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (x)dx=1$$

pero más en general:

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (x-x_0)f(x)dx=f(x_0)}}$$

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Continuando, se determina entonces:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_Y(\omega )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[0.0062\delta (y-1)+0.1525\delta (y-2)\\ & +0.6826\delta (y-3)+0.1587\delta (y-4)]e^{j\omega y}dy\end{array}$$

Aplicando la propiedad del delta de Dirac:

$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_Y(\omega )=0.0062e^{j\omega 1}+0.1525e^{j\omega 2}+0.6826e^{j\omega 3}+0.1587e^{j\omega 4}}}$$

Que es la función característica de $Y$.

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Falta diapositiva 25

INFO

$$m_2=(-j{)}^2\frac{d^2}{d{\omega }^2}{\mathrm{\Phi }}_Y(\omega ){|}_{\omega =0}$$$$=-1\cdot \frac{d^2}{d{\omega }^2}[0.0062e^{j\omega 1}+0.1525e^{j\omega 2}+0.6826e^{j\omega 3}+0.1587e^{j\omega 4}]{|}_{\omega =0}$$$$=-1{[(-0.0062)e^{j\omega 1}+(-0.6100)e^{j\omega 2}+(-6.1434)e^{j\omega 3}+(-2.5392)e^{j\omega 4}]}_{\omega =0}$$$$m_2=9.2988$$

Confirmación con la definición directa:

$$E(Y^2)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{y}^2{f}_Y(y)dy$$$$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{y}^2[0.0062\delta (y-1)+0.1525\delta (y-2)+0.6826\delta (y-3)+0.1587\delta (y-4)]dy$$$$=0.0062\cdot 1^2+0.1525\cdot 2^2+0.6826\cdot 3^2+0.1587\cdot 4^2$$$$=0.0062\cdot 1+0.1525\cdot 4+0.6826\cdot 9+0.1587\cdot 16$$$$E(Y^2)=9.2988$$

Resultado coincide con el obtenido por derivación de la función característica..

Cálculo de la media $E[Y]$:

$$E[Y]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}y{f}_Y(y)dy$$$$=0.0062\cdot 1+0.1525\cdot 2+0.6826\cdot 3+0.1587\cdot 4$$$$E[Y]=0.0062+0.3050+2.0478+0.6348=2.9938$$

El resultado $E[Y]=2.9938$ tiene sentido porque es muy cercano a 3, donde está concentrada la mayor probabilidad según $f_Y(y)$.

Entonces la varianza es:

$${\sigma }_Y^2=E[Y^2]-(E[Y]{)}^2=9.2988-(2.9938{)}^2=0.3360$$

Y la desviación estándar:

$${\sigma }_Y=\sqrt{0.3360}=0.5796$$

Esto indica una dispersión baja, lo cual concuerda con la fuerte concentración de valores alrededor de 3.