Función de densidad de probabilidad (PDF)

La función de densidad de probabilidad describe cómo se distribuye la probabilidad a lo largo de la recta real. Es la base para numerosos cálculos numéricos en el análisis probabilístico.

Función de densidad continua

Definición

La función de densidad $f_X$ es la derivada de la función de distribución acumulativa:

$$f_X=\frac{\mathrm{d}{F}_X}{\mathrm{d}x}$$

También se le llama PDF (Probability Density Function).

Visualización

Función de densidad discreta

Definición

Para una variable discreta:

$$\begin{array}{rl}{f}_X& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum _{i=1}^{N}P(x_i)u(x-x_i)\\ \\ f_X& =\sum _{i=1}^{N}P(x_i)\delta (x-x_i)\end{array}$$

También se le llama PMF (Probability Mass Function).

Visualización

Propiedades de $f_X$

1. $f_X\ge 0$ para todo $x$
2. Área total unitaria:$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X\mathrm{d}x=1$$
3. Probabilidad en un intervalo:$$P(x_1<X\le x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}{f}_X\mathrm{d}x$$
4. La función acumulativa se obtiene de la densidad:$$F_X={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(\xi )\mathrm{d}\xi$$

Algunas funciones de distribución probabilística de aplicación común

Función de densidad gaussiana o normal

Definición

La función gaussiana tiene la forma general de la función

$$f(x)=e^{-x^2}$$

En particular, una variable aleatoria $X$ es normal si su función de densidad es:

$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_X^2}}\exp [-\frac{(x-{\mu }_X{)}^2}{2{\sigma }_X^2}](6)$$

donde ${\sigma }_X>0$ y $-\mathrm{\infty }<{\mu }_X<\mathrm{\infty }$ son constantes reales, conocidas como desviación estándar y media, respectivamente.

La diferencia entre las ecuaciones anteriores es que (6) aplica la normalización (el área bajo la curva es 1) y el desplazamiento en el eje real (¡y por eso se ve tan complicada, pero la forma es la misma!).

Función de densidad normal- Gráfica (la "campana" gaussiana)

Figura: Función de distribución de probabilidad gaussiana

• Cumple con las propiedades $f_X(x)\ge 0$ para todo $x$, y ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)dx=1$.
• Su valor máximo $\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_X^2}}$ ocurre en $x={\mu }_X$.
• Su dispersión (es decir, la forma particular en que se distribuyen los valores de la función) alrededor de $x={\mu }_X$ está relacionado con ${\sigma }_X$.
• La función disminuye a 0.607 veces su máximo en $x={\mu }_X+{\sigma }_X$ y en $x={\mu }_X-{\sigma }_X$.

Figura: Función de distribución de probabilidad gaussiana II

Como la variable gaussiana es tan común, tiene una notación especial. Al decir:

$X:\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)\text{o}X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$

significa que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución gaussiana o "normal" con media $\mu$ y varianza ${\sigma }_X^2$ (la desviación estándar es ${\sigma }_X$).

¿Dónde aparece?

En el ruido térmico que afecta a la electrónica y en cierto tipo de interferencia que posa un canal inalámbrico sobre las comunicaciones. Además de innumerables otros fenómenos físicos, económicos y sociales, algo que quizá se explicará con el teorema del límite central, más adelante.

Función de densidad uniforme

Definición

Las funciones de densidad probabilística y acumulativa uniforme están definidas por:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& \text{si }a\le x\le b\\ 0& \text{para otros valores de }x\end{array}$$$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ {\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}& a\le x<b\\ 1& x\ge b\end{array}$$

para constantes reales $-\mathrm{\infty }<a<\mathrm{\infty }$ y $b>a$.

Gráfica de densidad uniforme

Figura: Función de densidad uniforme

¿Dónde aparece?

Cuando no se tiene mayor información sobre el comportamiento de la variable aleatoria puede asumirse un comportamiento uniforme.

Un mal ejemplo

Una llamada de oficina sucederá entre las 8:00 am y las 5:00 pm con igual probabilidad.

Función de densidad exponencial

Definición

Las funciones de distribución y de densidad exponencial son:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b}\exp [-\left(\frac{x-a}{b}\right)]& x>a\\ 0& x<a\end{array}$$$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}1-\exp [-\left(\frac{x-a}{b}\right)]& x>a\\ 0& x<a\end{array}$$

para números reales $-\mathrm{\infty }<a<\mathrm{\infty }$ y $b>0$. También es usual la notación:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x<0\end{array}$$

Gráfica de la función de densidad exponencial

Figura: Función de densidad de probabilidad exponencial

¿Dónde aparece?

Ocurre en problemas de tiempo de espera o en el cálculo de la vida útil de dispositivos.

Función de densidad de Rayleigh

Definición

Las funciones de distribución y de densidad Rayleigh son:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{b}(x-a)\exp [-\left(\frac{(x-a{)}^2}{b}\right)]& x\ge a\\ 0& x<a\end{array}$$$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}1-\exp [-\left(\frac{(x-a{)}^2}{b}\right)]& x\ge a\\ 0& x<a\end{array}$$

para constantes reales $-\mathrm{\infty }<a<\mathrm{\infty }$ y $b>0$.

Gráfica de la función de densidad de Rayleigh

Figura: Función de densidad de probabilidad de Rayleigh

¿Dónde aparece?

Aparece en errores de aterrizaje de cohetes, fluctuaciones aleatorias de la envolvente de ciertas formas de onda, la distribución radial de los errores en un tablero de dardos, o los tiempos de llegada de las señales de múltiples trayectorias en transmisión inalámbrica.

Función de densidad binomial

Definición

Sea $0<p<1$ y $N=1,2,\dots$, entonces la función

$$f_X(x)=\sum _{k=0}^N(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})p^k(1-p{)}^{N-k}\delta (x-k)$$

se llama la función de densidad binomial. La cantidad $(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})$ es el coeficiente binomial

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})=\frac{N!}{k!(N-k)!}$$

Gráfica de la función de densidad binomial

Figura: Función de densidad de probabilidad discreta binomial

¿Dónde aparece?

Modela la posibilidad de superar un umbral aceptable dada una tasa de ``errores'' (u ocurrencias de un evento). Se usa en análisis de riesgo, estimación de personal necesario según demanda de servicios, o número de defectos en un lote de producción.

Función de densidad de Poisson

Definición

La variable aleatoria de Poisson $X$ tiene una densidad y distribución dadas por

$$f_X(x)=e^{-b}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{b^k}{k!}\delta (x-k)$$$$F_X(x)=e^{-b}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{b^k}{k!}u(x-k)$$

donde $b>0$ es una constante real. Cuando son graficadas, estas funciones parecen similares a la variable aleatoria binomial. De hecho, si $N\to \mathrm{\infty }$ y $p\to 0$ para el caso binomial de tal manera que $Np=b$, una constante, entonces resulta la función de densidad de Poisson.

Gráfica de Poisson

Figura: Función de densidad de probabilidad de Poisson

¿Dónde aparece?

Se utiliza para describir eventos esporádicos en una población grande, como la mutación de una célula, o los errores de bits en una transmisión de datos.

¡Y hay muchas (muchas) distribuciones más!

Bernoulli	Beta	Gamma	Z de Fisher
Rademacher	Coseno elevado	Erlang	Behrens–Fisher
Beta-binomial	Irwin-Hall	Gamma-Gompertz	Cauchy
Degenerada en x₀	Kent	Gumbel tipo-2	Chernoff
Hipergeométrica	Kumaraswamy	Lévy	Lévy
Benford	Logit-normal	Log-Cauchy	Estable geométrica
Binomial negativa	Normal truncada	Log-gamma	Fisher–Tippett
Geométrica	Triangular	Log-normal	Gumbel
Boltzmann	U-cuadrática	Mittag-Leffler	Holtsmark
Gibbs	Von Mises-Fisher	Nakagami	Landau
Elíptica asimétrica	Wigner	Wald	Linnik
Fractal parabólica	Beta prima	Pareto	Map-Airy
Polya-Eggenberger	Birnbaum	Tipo III de Pearson	Dirichlet
Skellam	Chi, χ	Bi-exponencial	Ewens
Yule–Simon	χ²	Bi-Weibull	Balding–Nichols
Zeta	Dagum	Rice	Multivariante
Zipf–Mandelbrot	F (mi favorita)	T² de Hotelling	...
Arcoseno	Fréchet	Rosin-Rammler

¿Y aplicaciones? Muchas, también

• Para describir el número de eventos que ocurren en un periodo de tiempo
• Para describir el número de intentos necesarios hasta conseguir el primer acierto
• Para predecir tiempos de espera en sistemas telefónicos
• Para estimar la esperanza de vida poblacional
• Para modelar procesos farmacocinéticos (relacionados con la acción de los medicamentos en el cuerpo)
• Para describir la distribución de tamaños de determinadas partículas
• Para análisis genético de poblaciones
• Para pronosticar fenómenos atmosféricos
• Para pronosticar movimientos de la bolsa de valores
• Para calcular los recursos necesarios en una epidemia
• ...

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Videos y referencias en internet

• Variables aleatorias discretas y continuas | Estadística UNEDFrísica y Mates, https://youtu.be/n0T_HcJ7oak
• Understanding Random Variables - Probability Distributions 1
• Dr Nic’s Maths and Stats, https://youtu.be/lHCpYeFvTs0
• The Galton Board (una visualización interesante de cómo aparece la distribución normal en experimentos aleatorios)
  PhysicsFun, https://youtu.be/Vo9Esp1yaC8
• [Name of the distribution]Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Name_of_the_distribution
• Why “probability of 0” does not mean “impossible”3Blue1Brown, https://youtu.be/ZA4JkHKZM50