Respuesta de sistemas lineales a una señal aleatoria

Respuesta del sistema y valor cuadrático medio

En la interacción de señales y sistemas donde hay entradas aleatorias, es posible determinar cantidades útiles para el análisis, como la señal misma o la potencia de salida, conociendo las características determinísticas del sistema y características estadísticas de la entrada.

Respuesta del sistema: convolución

Con $x(t)$ una señal aleatoria, la respuesta de cualquier red eléctrica, denotada por $y(t)$, está dada por la integral de convolución

$$\begin{array}{rl}y(t)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\xi )h(t-\xi )\mathrm{d}\xi \\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\xi )x(t-\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =x(t)\ast h(t)\end{array}$$

donde $h(t)$ es la respuesta al impulso de la red. Se está suponiendo un sistema lineal e invariante con el tiempo (LIT).

La ecuación anterior es una operación sobre un miembro $x(t)$ del agregado del proceso estocástico $X(t)$ que produce un miembro del agregado de un nuevo proceso $Y(t)$. En general, para todo el proceso estocástico,

$$\begin{array}{rl}Y(t)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\xi )X(t-\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =X(t)\ast H(t)\end{array}$$

Valor medio de la respuesta del sistema

Si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio (WSS), entonces

$$\begin{array}{rl}E[Y(t)]& =E[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\xi )X(t-\xi )\mathrm{d}\xi ]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\xi )E[X(t-\xi )]\mathrm{d}\xi \\ & =\overline{X}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\xi )\mathrm{d}\xi =\overline{Y}\text{(constante)}\end{array}$$

Entonces el valor medio de $Y(t)$ iguala al valor medio de $X(t)$ multiplicado por el área bajo la curva de la respuesta al impulso.

Nota al margen: Relación entre la integración y el valor esperado

Las operaciones de integración y de esperanza matemática son intercambiables, de modo que, para

$${\int }_{t_1}^{t_2}E[|W(t)|]|h(t)|\mathrm{d}t<\mathrm{\infty }$$

donde $t_1$, $t_2$ son constantes reales que pueden ser infinitas, aplica que

$$E[{\int }_{t_1}^{t_2}W(t)h(t)\mathrm{d}t]={\int }_{t_1}^{t_2}E[W(t)]h(t)\mathrm{d}t$$

donde $W(t)$ es alguna función acotada de un proceso aleatorio (sobre el intervalo $[t_1,t_2]$) y $h(t)$ es una función del tiempo, no aleatoria.

Valor cuadrático medio de la respuesta del sistema

Para el valor cuadrático medio de $Y(t)$, se calcula

$$\begin{array}{rl}E[Y^2(t)]& =E[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_1)X(t-{\xi }_1)\mathrm{d}{\xi }_1{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_2)X(t-{\xi }_2)\mathrm{d}{\xi }_2]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E[X(t-{\xi }_1)X(t-{\xi }_2)]h({\xi }_1)h({\xi }_2)\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\end{array}$$

Si se supone que la entrada es estacionaria en sentido amplio:

$$E[X(t-{\xi }_1)X(t-{\xi }_2)]=R_{XX}({\xi }_1-{\xi }_2)$$

con lo que la ecuación se vuelve independiente de $t$:

$$\begin{array}{rl}\overline{Y^2}& =E[Y^2(t)]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XX}({\xi }_1-{\xi }_2)h({\xi }_1)h({\xi }_2)\mathrm{d}{\xi }_1\mathrm{d}{\xi }_2\end{array}$$

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Sistema con entrada de ruido blanco

Se encontrará $\overline{Y^2}$ para un sistema con ruido blanco gaussiano en su entrada.

Aquí:

$$R_{XX}({\xi }_1-{\xi }_2)=({\mathcal{N}}_0/2)\delta ({\xi }_1-{\xi }_2)$$

donde ${\mathcal{N}}_0$ es una constante real positiva. Luego,

$$\overline{Y^2}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\mathcal{N}}_0/2)\delta ({\xi }_1-{\xi }_2)h({\xi }_1)\mathrm{d}{\xi }_{1}h({\xi }_2)\mathrm{d}{\xi }_2$$

Se concluye que:

$$\overline{Y^2}=({\mathcal{N}}_0/2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{h}^2({\xi }_2)\mathrm{d}{\xi }_2$$

La potencia de salida se vuelve proporcional al área bajo el cuadrado de la curva de $h(t)$, en este ejemplo.

Autocorrelaciones de entrada y salida y correlaciones cruzadas

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Autocorrelación de la respuesta

Sea $X(t)$ estacionario en sentido amplio. La autocorrelación de la respuesta $Y(t)$ es:

$$\begin{array}{rl}{R}_{YY}(t,t+\tau )=& E[Y(t)Y(t+\tau )]\\ =& E[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_1)X(t-{\xi }_1)d{\xi }_1{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_2)X(t+\tau -{\xi }_2)d{\xi }_2]\\ =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E[X(t-{\xi }_1)X(t+\tau -{\xi }_2)]h({\xi }_1)h({\xi }_2)d{\xi }_{1}d{\xi }_2\end{array}$$

Como $X(t)$ es estacionario en sentido amplio:

$$R_{YY}(\tau )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XX}(\tau +{\xi }_1-{\xi }_2)h({\xi }_1)h({\xi }_2)d{\xi }_{1}d{\xi }_2$$

pues $X(t)$ se supone que es estacionario en sentido amplio.

Se puede concluir que:

1. $Y(t)$ es estacionario en sentido amplio si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio porque $R_{YY}(\tau )$ no depende de $t$ y $E[Y(t)]$ es constante.
2. $R_{YY}(\tau )$ es la doble convolución de la autocorrelación de entrada con la respuesta al impulso del sistema; es decir:

$$R_{YY}(\tau )=R_{XX}(\tau )\ast h(-\tau )\ast (\tau )$$

Correlación cruzada de entrada y salida

La correlación cruzada $X(t)$ e $Y(t)$ es

$$\begin{array}{rl}{R}_{XY}(t,t+\tau )& =E[X(t)Y(t+\tau )]\\ & =E[X(t){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(\xi )X(t+\tau -\xi )d\xi ]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E[X(t)X(t+\tau -\xi )]h(\xi )d\xi \end{array}$$

Si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio,

$$R_{XY}(\tau )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XX}(\tau -\xi )h(\xi )d\xi$$

que es la convolución de $R_{XX}(\tau )$ con $h(\tau )$:

$$R_{XY}=R_{XX}(\tau )\ast h(\tau )$$

Un desarrollo simliar muestra que:

$$\begin{array}{rl}{R}_{YX}(\tau )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XX}(\tau -\xi )h(-\xi )d\xi \\ R_{YX}& =R_{XX}(\tau )\ast h(-\tau )\end{array}$$

Es claro que la correlación cruzada depende de $\tau$ y no del tiempo absoluto $t$. Como consecuencia de este hecho, $X(t)$ y $Y(t)$ son conjuntamente estacionario en sentido amplio si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio (esto se concluye puesto que se demostró anteriormente que $Y(t)$ es estacionario en sentido amplio).

Relaciones entre la autocorrelación y la correlación cruzada

La autocorrelación y la correlación cruzada están relacionados entre sí:

$$\begin{array}{rl}{R}_{YY}(\tau )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XY}(\tau +{\xi }_1)h({\xi }_1)d{\xi }_1\\ & =R_{XY}(\tau )\ast h(-\tau )\end{array}$$

Igualmente,

$$\begin{array}{rl}{R}_{YY}(\tau )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{YX}(\tau -{\xi }_2)h({\xi }_2)d{\xi }_2\\ & =R_{YX}(\tau )\ast h(\tau )\end{array}$$

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Características espectrales de la respuesta del sistema

• La transformada de Fourier de una función de correlación (autocorrelación o correlación cruzada) es un espectro de potencia para procesos estacionarios en sentido amplio.
• Si $R_{XX}(\tau )$ es conocida para el proceso de entrada, se puede hallar $R_{YY}(\tau )$, $R_{XY}(\tau )$ y $R_{YX}(\tau )$ como se ha descrito anteriormente, para luego obtener espectros de potencia por transformación.
• Desde un punto de vista práctico las integrales involucradas pueden ser difíciles de evaluar.
• El espectro de potencia deseado involucrando la respuesta del sistema se relaciona con el espectro de potencia de entrada.

Espectro de densidad de potencia de la respuesta

Asumiendo estacionaridad en sentido amplio conjunta, escríbase ${\mathcal{S}}_{YY}(\omega )$ como la transformada de Fourier de la autorrelación de salida

$${\mathcal{S}}_{YY}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{YY}(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau$$

Si se sustituye ahora la integral para ( R_{YY}(\tau) )

$${\mathcal{S}}_{YY}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_1){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XX}(\tau +{\xi }_1-{\xi }_2)e^{-j\omega \tau }{d}_{\tau }{d}_{{\xi }_2}{d}_{{\xi }_1}$$

Se hace ahora el cambio de variable $\xi =\tau +{\xi }_1-{\xi }_2$, $d_{\xi }=d_{\tau }$, se tiene:

$${\mathcal{S}}_{YY}(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_1)e^{j\omega {\xi }_1}{d}_{{\xi }_1}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h({\xi }_2)e^{-j\omega {\xi }_2}{d}_{{\xi }_2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{XX}(\xi )e^{-j\omega \xi }{d}_{\xi }$$

Las anteriores tres integrales se reconocen como $H^{\ast }(\omega )$, $H(\omega )$ y ${\mathcal{S}}_{XX}(\omega )$, respectivamente.

$${\mathcal{S}}_{YY}(\omega )=H^{\ast }(\omega )H(\omega ){\mathcal{S}}_{XX}(\omega )={\mathcal{S}}_{XX}(\omega )|H(\omega ){|}^2$$

$|H(\omega ){|}^2$ se llama la función de transferencia de potencia del sistema.

Potencia promedio de la respuesta

La potencia promedio, denotada por $P_{YY}$, en la respuesta del sistema se encuentra calculando:

$$P_{YY}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{S}}_{XX}(\omega )|H(\omega ){|}^{2}d\omega$$

Espectros de densidad de potencia cruzada de entrada y salida

Puede demostrarse que las transformadas de Fourier de las correlaciones cruzadas pueden escribirse como:

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{S}}_{XY}(\omega )& ={\mathcal{S}}_{XX}(\omega )H(\omega )\\ {\mathcal{S}}_{YX}(\omega )& ={\mathcal{S}}_{XX}(\omega )H(-\omega )\end{array}$$