Función de probabilidad acumulativa (CDF)

La función de probabilidad acumulativa, $F_X(x)$

La premisa de la función de probabilidad acumulativa es que, por definición, $F_X(x)$ representa “la probabilidad de que el resultado del experimento sea un valor menor a $x$”. Conforme $x$ aumenta se “acumula” toda la probabilidad anterior (pues está contenida dentro del nuevo intervalo), y de ahí su nombre.

La figura anterior son los casos acumulados de Covid-19 en los primeros 40 días de contagio en Costa Rica, modelados con la curva sigmoidal tipo Gompertz, que es un caso especial de la curva logística y utilizado en crecimiento de poblaciones. Es un ejemplo de función acumulativa pero no de probabilidad. Datos y modelado del profesor Víctor Granados.

Definición

Si la probabilidad $P\{X\le x\}$ es la probabilidad del evento $\{X\le x\}$, entonces a la función de $x$

$$\boxed{{\displaystyle F_X(x)=P(X\le x)}}$$

Función de distribución de probabilidad acumulativa

se le llama función de distribución de probabilidad acumulativa de la variable aleatoria $X$. El argumento $x$ es cualquier número real entre $-\mathrm{\infty }$ y $\mathrm{\infty }$.

Visualización de $\{X\le x\}$ en la recta real.

A menudo llamada simplemente funcion acumulativa de X. En inglés llamada Cumulative Distribution Function, CDF

---

Visualización

En una función acumulativa de probabilidad de una variable aleatoria $X$ particular, los valores $x_1=4$ y $F_X(4)=\mathrm{0,681}1$ se interpretan como que hay un 68,11 % de probabilidad de que el valor de $X$ esté por debajo de 4, es decir:

$$P(X<4)=\mathrm{0,681}1$$

Propiedades de la función acumulativa $F_X(x)$

La función de distribución de probabilidad acumulativa presenta las siguientes propiedades:

1. La probabilidad de que $X$ tenga un valor menor a $-\mathrm{\infty }$ es cero:

$$\boxed{{\displaystyle F_X(-\mathrm{\infty })=0}}$$

Esto tiene relación con el hecho conocido de que $P(\complement S)=0$.

2. La probabilidad de que $X$ tenga un valor menor a $+\mathrm{\infty }$ (dentro de la recta real) es uno:

$$\boxed{{\displaystyle F_X(\mathrm{\infty })=1}}$$

Esto tiene relación con el hecho conocido de que $P(S)=1$.

3. $F_X(x)=P(X<x)$ es una probabilidad por sí misma, con valores acotados según el primer y segundo axioma de la probabilidad:

$$\boxed{{\displaystyle 0\le F_X(x)\le 1}}$$

Esto tiene relación directa con las dos propiedades anteriores.

4. $F_X(x)$ es una función no decreciente de $x$:

$$\boxed{{\displaystyle F_X(x_1)\le F_X(x_2)\text{si}{x}_1<x_2}}$$

Esto es claro por el hecho de que la función es “acumulativa”.

5. La probabilidad de que $X$ tenga valores más grandes que algún número $x_1$ pero que no exceda otro número $x_2$, es igual a la diferencia en $F_X(x)$ evaluada en tales puntos:

$$\boxed{{\displaystyle P(x_1<X\le x_2)=F_X(x_2)-F_X(x_1)}}$$

Esta propiedad permite hacer cálculos numéricos de probabilidades a partir de la CDF.

6. $F_X(x)$ tiene continuidad por la derecha:

$$\boxed{{\displaystyle F_X(x^{+})=F_X(x)}}$$

Donde $x^{+}$ significa $x+\epsilon$, y $\epsilon >0$ es infinitesimalmente pequeño; es decir, $\epsilon \to 0$. Esto es útil con variables aleatorias discretas.

Función de distribución acumulativa discreta

Definición

Si $X$ es una variable aleatoria discreta, $F_X(x)$ tiene forma escalonada. La amplitud de un escalón igualará la probabilidad de ocurrencia del valor de $X$ donde el escalón ocurre.

Función de distribución acumulativa discreta, con $F_X(x_i)=F_i$.

Si los valores de $X$ se denotan $x_i$ , $F_X(x)$ se escribe como:

$$\boxed{{\displaystyle F_X(x)=\sum _{i=1}^{N}P\text{X = }{x}_{i}u(x-x_i)}}$$

Donde $u(·)$ es la función escalón unitario. Si se define $P(x_i)=P(X=x_i)$, puede escribirse más brevemente:

$$\boxed{{\displaystyle F_X(x)=\sum _{i=1}^{N}P(x_i)u(x-x_i)}}$$

---

:material-pencil-box: EJEMPLO

!!! example "Ejemplo con un dado" Un experimento consiste en lanzar un dado. EHay seis resultados posibles: las caras del dado, identificadas como $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ Todas tienen igual probabilidad de ocurrencia. Se define una variable aleatoria $Y(s)$ que mapea cada cara a un número en la recta real igual a la cantidad de puntos en la cara del dado.

Dado que todas las caras son igualmente probables,

$P(x_i) = P(X = x_i) = \tfrac{1}{6},\quad i=1,\dots,6.$

$i$	1	2	3	4	5	6
$x_i$	1	2	3	4	5	6
$P(x_i)$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Y así su función de distribución es

$F_X(x)=\sum _{i=1}^{N}P(x_i)u(x-x_i)=\sum _{i=1}^6\frac{1}{6}u(x-x_i)$

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad $P(1<X\le 5)$?

$P(1<X\le 5)=F_X(x_2)-F_X(x_1)=F_X(5)-F_X(1)=\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}$