Media

Valor esperado de una variable aleatoria, $E[X]$

El valor esperado de una variable aleatoria es uno de los resultados más importantes y más frecuentemente utilizados. Ya lo conocíamos en su forma discreta como "promedio".

Ejemplo de la escala de Apgar

Los bebés son evaluados en la escala de Apgar, creada por Virginia Apgar, quien le puso el retrónimo Appearance, Pulse, Grimace, Activity, Respiration.

Sea $X$ el puntaje de Apgar de un niño seleccionado aleatoriamente en cierto hospital, y suponga que la función de masa de probabilidad (PMF) $P(X)$ es:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(x)	0.002	0.001	0.002	0.005	0.02	0.04	0.18	0.37	0.25	0.12	0.01

¿Cuál valor de $X$ esperaríamos si elegimos un niño(a) al azar?

El valor esperado es un operador denotado $E[\cdot ]$, también conocido como esperanza matemática, valor medio, media o promedio estadístico.

Un promedio puede verse como "el número más cercano a todos los números del conjunto, en el sentido de que la suma de las distancias desde él a todos los puntos es la más pequeña". Similar a un centro de gravedad.

Valor esperado de una variable aleatoria continua

Valor esperado de una variable aleatoria continua

$$E[X]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_X(x)\mathrm{d}x\triangleq \bar{X}$$

Este valor se obtiene utilizando la función de densidad $f_X(x)$, que asigna un peso a cada valor infinitesimal de $x$.

Ejemplo: Promedio de una distribución exponencial

Sea $X$ una variable aleatoria exponencial con:

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

¿Cuál es su valor esperado?

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\ & ={-x{e}^{-\lambda x}|}_0^{\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

Si $X$ es discreta con valores $x_i$ y probabilidades $P(x_i)$:

$$E[X]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\sum _{i=1}^{N}P(x_i)\delta (x-x_i)dx$$$$=\sum _{i=1}^{N}P(x_i){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\delta (x-x_i)dx=\sum _{i=1}^N{x}_{i}P(x_i)$$$$E[X]=\sum _{i=1}^N{x}_{i}P(x_i)$$

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

El valor esperado es la suma ponderada de los posibles valores:

$$E[X]=\sum _{i=1}^N{x}_{i}P(x_i)\triangleq \bar{X}$$

Valor esperado de una variable aleatoria simétrica

Si la función de densidad es simétrica alrededor de $x=a$, entonces:

$$E[X]=a\text{si}{f}_X(x+a)=f_X(-x+a)$$

Valor esperado de una función, $E[g(X)]$

Para una función $g(X)$ de una variable aleatoria $X$:

Definición

$$E[g(X)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x)f_X(x)\mathrm{d}x$$

Si $X$ es discreta:

$$E[g(X)]=\sum _{i=1}^{N}g(x_i)P(x_i)$$

En general: $E[g(X)]\ne g(E[X])$

Ejemplo: Potencia disipada en un resistor

Sea $I$ una corriente con distribución uniforme entre 1 A y 3 A. Entonces:

$$f_I(i)=\{\begin{array}{ll}1/2& 1<i<3\\ 0& \text{otro caso}\end{array}$$

¿Cuál es el valor esperado de la corriente $I$? ¿Y de la potencia $P=I^{2}R$ si $R=1\mathrm{\Omega }$?

Solución:

• Promedio de la corriente:

$$E[I]={\int }_1^{3}i\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}i={\frac{1}{4}{i}^2|}_1^3=\frac{9-1}{4}=2A$$

• Potencia disipada:

$$E[P]={\int }_1^3{i}^2\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}i={\frac{1}{6}{i}^3|}_1^3=\frac{27-1}{6}=\frac{26}{6}\approx 4.33W$$

Valor esperado condicional, $E[X\mid B]$

Definición

El valor esperado condicional depende de la función de densidad condicional:

$$E[X\mid B]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f_X(x\mid B)\mathrm{d}x$$

Caso especial: $B=\{X\le b\}$

La densidad condicional es:

$$f_X(x\mid X\le b)=\{\begin{array}{ll}\frac{f_X(x)}{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^b{f}_X(x)\mathrm{d}x}& x<b\\ 0& x\ge b\end{array}$$

Entonces:

$$\begin{array}{rl}E[X\mid X\le b]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{f_X(x)}{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^b{f}_X(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{E[X]}{P(B)}\end{array}$$

Este es el valor esperado de $X$ restringido al conjunto $\{X\le b\}$.