Ergodicidad de los procesos aleatorios

La ergodicidad establece la igualdad entre el promedio estadístico y el promedio temporal de un proceso aleatorio.

Es una nueva forma de estacionaridad que simplifica el análisis del proceso aleatorio.

Promedios en el tiempo

El promedio temporal de una función está definido con el nuevo operador

$$A[f(t)]=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}f(t)\mathrm{d}t$$

donde $A$ se utiliza para denotar promedio temporal de una manera análoga al operador $E$ para el promedio estadístico. $f(t)$ es una función del tiempo cualquiera.

El valor $\bar{x}=A[x(t)]$ representa el promedio temporal de una función muestra. La función de autocorrelación temporal es denotada por ${\mathcal{R}}_{XX}(\tau )=A[x(t)x(t+\tau )]$. Estas funciones están definidas por

$$\begin{array}{rl}\bar{x}& =A[x(t)]\\ & =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)\mathrm{d}t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\mathcal{R}}_{XX}(\tau )& =A[x(t)x(t+\tau )]\\ & =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )\mathrm{d}t\end{array}$$

Para cualesquiera función muestra $x(t)$ del proceso $X(t)$, estas dos últimas integrales simplemente producen dos números (para un valor fijo de $\tau$).

Figura: Ejemplo de un proceso aleatorio llamado "caminata aleatoria" (random walk).

Cuando se consideran todas las funciones muestra, $\bar{x}$ y ${\mathcal{R}}_{XX}(\tau )$ son realmente variables aleatorias. Tomando el valor esperado a ambos lados de las definiciones, suponiendo que la operación matemática de la esperanza puede llevarse al interior de la integral y suponiendo que $X(t)$ es un proceso estacionario,

$$E[\bar{x}]=\bar{X}E[{\mathcal{R}}_{XX}(\tau )]=R_{XX}(\tau )$$

Procesos ergódicos

Procesos ergódicos

Si se supone que $\bar{x}$ y ${\mathcal{R}}_{XX}(\tau )$ tienen varianzas nulas, es decir, que son constantes, se escribe entonces,

$$\begin{array}{rl}E[\bar{x}]& =\bar{x}=\bar{X}\\ E[{\mathcal{R}}_{XX}(\tau )]& ={\mathcal{R}}_{XX}(\tau )=R_{XX}(\tau )\end{array}$$

Los promedios temporales $\bar{x}$ y ${\mathcal{R}}_{XX}(\tau )$ igualan a los promedios estadísticos.

Los procesos para los que los promedios temporales igualan a los estadísticos se denominan ergódicos.

Figura: Ejemplo de un proceso aleatorio llamado "ruido blanco" (white noise).

Ergodicidad es una forma muy restrictiva de estacionaridad y puede ser difícil probar que constituye una suposición razonable para cualquier situación física. Sin embargo, se asumirá que un proceso es ergódico a veces para simplificar problemas.

Ergodicidad conjunta
Dos procesos aleatorios son llamados conjuntamente ergódicos si son individualmente ergódicos y también tienen una función de correlación cruzada temporal que iguala la función de correlación cruzada estadística:

$${\mathcal{R}}_{XY}(\tau )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)y(t+\tau )\mathrm{d}t=R_{XY}(\tau )$$