Definiciones de la probabilidad

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Primera mitad de transcripción no aceptada (posee varios errores): 1_1_1_la_probabilidad.md

¿Qué es y para qué sirve la probabilidad?

La probabilidad es una medida de la certidumbre de ocurrencia de un evento.

• Permite tomar decisiones en un Universo fundamentalmente incierto.
• Es útil para tratar de:
  • adivinar el futuro
  • adivinar el pasado
• No es posible saber lo que va a pasar, pero podemos modelar y cuantificar lo que podemos esperar, con base en lo que ya ha sucedido.

¿Qué hace aleatorio a un fenómeno aleatorio? (Nota al margen)

Puede ser la física (a partir del principio de incertidumbre), o por ser un sistema caótico (extremadamente sensible a las condiciones iniciales), o por el conocimiento imperfecto del observador (el fenómeno podría ser predecible desde algún punto de vista, pero el observador no lo sabe).

Aplicaciones de la probabilidad

¿Qué aplicaciones tiene la teoría de probabilidad?

• 🛈 Teoría de la información
• 📶 Comunicaciones
• 🧾 Reconocimiento de patrones
• ⚙️ Producción industrial
• 📈 Finanzas
• 🏛 Política pública
• 📚 Aprendizaje automático
• ☁️ Meteorología
• 🚑 Epidemias
• 🔍 (...)

Los conceptos de la probabilidad

Definición clásica de Laplace

La probabilidad de un evento $A$ se define a priori (sin experimentación) como:

$$\begin{array}{rl}P(A)& =\frac{\text{Número de resultados favorables a }A}{\text{Número total de resultados posibles}}\\ & =\frac{|A|}{|S|}=\frac{n(A)}{n(S)}\end{array}$$

En el caso de que todos los resultados (o salidas) son igualmente probables.

El operador $P(\cdot )$

El operador $P(\cdot )$ es una medida de la certeza de la ocurrencia del evento $\cdot$ descrito.

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Ejemplo de la caja con bolas blancas y rojas

Considerar una caja con $n$ bolas blancas y $m$ bolas rojas. En este caso, hay dos resultados elementales: una bola blanca o una bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una bola blanca?

$$P(\text{seleccionar una bola blanca})=\frac{n}{n+m}$$

Ejemplo de la divisibilidad por un número primo

Determine la probabilidad de que un número natural cualquiera es divisible por un número primo $n$.

• Si $n$ es un número primo, entonces cada $n$-ésimo número (empezando por $n$) es divisible por $n$.
• Por lo tanto, en $n$ enteros consecutivos hay un resultado favorable, y por tanto:

$$P(\text{un número es divisible por un primo }n)=\frac{1}{n}$$

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Deficiencias de la definición clásica de Laplace

$$P(A)=\frac{\text{Número de resultados favorables a }A}{\text{Número total de resultados posibles}}$$

• La probabilidad es utilizada para definir la probabilidad (referencia cíclica).
• No puede ser utilizado para situaciones donde los resultados no son igualmente probables.
• No puede ser utilizado para un número infinito de resultados posibles.

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Definición estadística de la probabilidad

Frecuencia relativa:

Un experimento aleatorio se realiza muchas veces, entonces la probabilidad de un evento $A$ se define como:

$$P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n(A)}{n}$$

Donde $n(A)$ es el número de ocurrencias de $A$ y $n$ es el número total de "experimentos" o "pruebas".

Este es un método común para determinación experimental de probabilidades.

Otras probabilidades por frecuencia relativa

Personas con obesidad

$$\begin{array}{rl}P(\text{ser obeso})& =\frac{\text{Personas con obesidad}}{\text{Población mundial}}\\ & =\frac{725039900}{7687217424}\approx 9.43\mathrm{\%}\end{array}$$

Muertes por fumado

$$\begin{array}{rl}P(\text{morir por fumar})& =\frac{\text{Muertes por fumado}}{\text{Muertes este año}}\\ & =\frac{805310}{9514900}\approx 8.46\mathrm{\%}\end{array}$$

¿Es correcto decir que tengo un 9.43% de probabilidades de ser obeso y 8.46% de morir por fumar?

Datos de http://www.worldometers.info/es/

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Ejemplo de la divisibilidad por un número primo

Determine la probabilidad de que un número natural cualquiera sea divisible por un número primo n.

• Entre los enteros $1,2,\dots ,m$, los números $n,2n,\dots$ son divisibles por $n$.
• Por lo tanto, hay $\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$ números divisibles por $n$ entre 1 y $ m $. Entonces:

$$P(\text{un número es divisible por un primo }n)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\lfloor \frac{m}{n}\rfloor }{m}=\frac{1}{n}$$

En el caso anterior se resolvió “analíticamente”, en este caso “probando” todos los números.

Deficiencias de la definición estadística de la probabilidad

$$P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n(A)}{n}$$

• No se pueden realizar infinitos experimentos.
• No puede ser utilizado para un número infinito de resultados posibles.
• Asume eventos equiprobables.

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Definición axiomática según Kolmogorov

Axioma:

Proposición o enunciado tan evidente que no requiere demostración.

Primer axioma:

$$P(A)\ge 0$$

La "medida" asignada a un evento que denota su probabilidad es no negativa.

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Segundo axioma:

$$P(S)=1$$

La probabilidad de ocurrencia de un resultado que pertenece al conjunto universal es segura.

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Tercer axioma:

$$P\left(\bigcup _{n=1}^N{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{N}P(A_n)$$

En el caso especial para dos eventos, $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

Un posible mnemónico es PUSuP (Probabilidad de la Unión es la Suma de las Probabilidades)

Nota sobre los valores de la probabilidad

Fuente común de errores a partir de la definición axiomática

$$\mathit{\text{primer axioma}}⟶0\le P(\cdot )\le 1⟵\mathit{\text{segundo axioma}}$$

• La medida de la probabilidad es mayor a cero
• La medida de la probabilidad es menor a uno

$$\boxed{{\displaystyle P(A)=0.42}}\cancel{P(A)=-0.42}\cancel{P(A)=1.42}$$

Nota sobre álgebra de conjuntos y aritmética

Fuente común de errores

El tercer axioma es la unión de operaciones de álgebra de conjuntos y operaciones aritméticas:

$$P\left(\bigcup _{n=1}^N{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{N}P(A_n)$$

• Los eventos tienen operaciones de álgebra de conjuntos pero no aritméticas (suma, resta, multiplicación, división).
• Las probabilidades son números ($0<P(\cdot )<1$) con operaciones aritméticas, pero no operaciones de unión, intersección, complemento.

$$\begin{array}{ccccc}\cancel{\overline{P(A)}}& & \boxed{{\displaystyle P(A)+P(B)}}& & \cancel{P(A+B)}\\ \boxed{{\displaystyle P(\bar{A})}}& & \cancel{P(A)\cup P(B)}& & \boxed{{\displaystyle P(A\cup B)}}\end{array}$$

Ejemplo del lanzamiento de dos dados

Observar la suma de dos dados que se lanzan

$$\begin{array}{cccccc}(1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\end{array}=\begin{array}{cccccc}2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 6& 7& 8& 9& 10& 11\\ 7& 8& 9& 10& 11& 12\end{array}$$

¿Cuál es la probabilidad de estos eventos?

$$\begin{array}{rl}A& =\{\text{suma}=7\}\\ B& =\{8<\text{suma}\le 11\}\\ C& =\{10<\text{suma}\}\end{array}$$

Asumiendo que $(P(A_{ij})=1/36)$ y dado que los eventos $(A_{ij})$, $(i,j=1,2,\dots ,N=6)$, son mutuamente excluyentes, estos deben satisfacer el tercer axioma.

$$\begin{array}{rl}P(A)& =P\left(\bigcup _{i=1}^6{A}_{i,7-i}\right)=\sum _{i=1}^{6}P(A_{i,7-i})\\ & =6\left(\frac{1}{36}\right)=\frac{1}{6}\end{array}$$

donde 6 es el número de elementos que satisfacen $\bigcup _{i=1}^6{A}_{i,7-i}$ (observable en la tabla anterior) y 36 es el número de eventos posibles ($n(S)$, la cardinalidad del conjunto universal).

Con $(B)$, hay 9 elementos que satisfacen el requisito $(B=\{8<\text{suma}\le 11\})$

$$\begin{array}{rl}P(B)& =P\{\left(\bigcup _{i=3}^6{A}_{i,9-i}\right)\cup \left(\bigcup _{i=4}^6{A}_{i,10-i}\right)\\ & \cup \left(\bigcup _{i=5}^6{A}_{i,11-i}\right)\}\\ & =9\left(\frac{1}{36}\right)=\frac{1}{4}\end{array}$$

En $(C)$ es fácil observar que hay solo 3 resultados elementales coincidentes, por lo que:

$$\begin{array}{rl}P(C)& =3\left(\frac{1}{36}\right)=\frac{1}{12}\end{array}$$

Adicionalmente,

$$\begin{array}{rl}P(B\cap C)& =2\left(\frac{1}{36}\right)=\frac{1}{18}\\ P(B\cup C)& =\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\end{array}$$

considerando que

$$A=\{\text{suma}=7\}B=\{8<\text{suma}\le 11\}C=\{10<\text{suma}\}$$

Consecuencias lógicas de la definición axiomática

Definición axiomática según Kolmogorov

Las siguientes conclusiones se siguen de los axiomas expuestos:

1. Dado que $(A\cup \bar{A}=S)$, usando el segundo axioma:

$$P(A\cup \bar{A})=P(S)=1$$

pero $(A\cap \bar{A}=\mathrm{\varnothing })$, y utilizando el tercer axioma:

$$\begin{array}{rl}P(A\cup \bar{A})& =P(A)+P(\bar{A})=1\\ & \Rightarrow \boxed{{\displaystyle P(\bar{A})=1-P(A)}}\end{array}$$

2. De forma similar, para cualquier $A$, con $A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$, entonces:

$$P(A\cup \mathrm{\varnothing })=P(A)+P(\mathrm{\varnothing })$$

pero $A\cup \mathrm{\varnothing }=A$, y así debe cumplirse que: $\boxed{{\displaystyle P(\mathrm{\varnothing })=0}}$

3. Si $A$ y $B$ no son mutuamente exclusivos, ¿cuál es la probabilidad $P(A\cup B)$?
Para resolverlo, se debe volver a expresar esa unión en términos de conjuntos ME (mutuamente excluyentes), de forma que se pueda utilizar el tercer axioma de la probabilidad.

$$A\cup B=A\cup \bar{A}B\text{ donde }A\cap \bar{A}B=\mathrm{\varnothing }$$

Utilizando el tercer axioma se tiene que

$$P(A\cup B)=P(A\cup \bar{A}B)=P(A)+P(\bar{A}B)$$

pero también

$$B=S\cap B=(A\cup \bar{A})\cap B=AB\cup \bar{A}B$$

Si $AB$ y $\bar{A}B$ son mutuamente excluyentes (ME), se aplica el tercer axioma,

$$\begin{array}{rl}P(B)& =P(AB)+P(\bar{A}B)\\ P(\bar{A}B)& =P(B)-P(AB)\end{array}$$

y sustituyendo:

$$\boxed{{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}}$$

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Identidades útiles de la probabilidad

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$$$P(\mathrm{\varnothing })=0$$$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Ejemplo del lanzamiento de una moneda

Tirar una moneda "justa" indefinidamente y definir el evento $A$ como

$$A=\{\text{escudo aparece, }\mathit{\text{eventualmente}}\}$$

¿Cuál es $P(A)$?

La intuición dice que $A $es un evento con $P(A)=1$. Sea

$$\begin{array}{rl}{A}_n& =\{\text{escudo aparece por primera vez}\\ & \text{en el }n\text{-ésimo tiro}\}\\ & =\{(\underset{n-1}{\underbrace{C,C,C,\dots ,C}},E)\}\end{array}$$

Si $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$para $1\le i,j\le n$(porque cada uno es una secuencia distinta, única):

$$\begin{array}{ccc}{A}_1& & E\\ A_2& & C& E\\ A_3& & C& C& E\\ A_4& & C& C& C& E\\ A_5& & C& C& C& C& E\\ ⋮\end{array}$$

se tiene entonces

$$A=A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_i\cup \cdots =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$$

es decir: "en alguno pega", eventualmente.