Transformaciones de variables aleatorias

Las transformaciones permiten determinar la función de densidad probabilística de una variable aleatoria $Y$ a partir del conocimiento de otra VA $X$, relacionadas por la función $Y=T(X)=g(X)$. Es común en situaciones donde el resultado de un proceso o la salida de un sistema depende de una entrada aleatoria.

Problema a resolver

En ocasiones se desea transformar una variable aleatoria $X$ en una nueva variable aleatoria $Y$ mediante una transformación (o función):

$$Y=T(X)$$

Las funciones de densidad $f_X(x)$ o acumulativa $F_X(x)$ son conocidas.

El problema consiste en determinar las funciones $F_Y(y)$ y $f_Y(y)$.

Tipos de transformaciones

• X (la "entrada") puede ser discreta, continua o mixta.

• T (la transformación) puede ser lineal, no lineal, segmentada, monotónica, no monotónica...

Hay muchas combinaciones, pero se considerarán tres casos:

• (a) (X) continua y (T) continua y monotónica.
• (b) (X) continua y (T) continua pero no monotónica.
• (c) (X) discreta y (T) continua.