Momentos de las variables aleatorias

El valor esperado y los "momentos" (su generalización) permiten caracterizar numéricamente el comportamiento o las tendencias de una variable aleatoria.

El valor esperado es un caso especial de una categoría más general, denominada "momentos de una variable aleatoria". Son valores que resumen o sintetizan propiedades de la variable aleatoria.

Mientras que la función de densidad de probabilidad (PDF) es una descripción completa de la variable aleatoria, los momentos cuantifican ciertas propiedades como el “valor esperado”, la “dispersión”, la “inclinación” o “lo llano” de una va y son una herramienta estadística valiosa para el análisis de su comportamiento.

Momentos alrededor del origen u ordinarios

Momentos ordinarios

La función $g(X)=X^n$, $n=0,1,2,\dots$, da los momentos alrededor del origen de la variable aleatoria $X$ son:

$$m_n=E\left[X^n\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{f}_x(x)dx$$

Casos especiales:

El valor $m_0=1$ es el área de la función $f_x(x)$, en tanto que $m_1=\bar{X}=E[X]$ es el valor esperado de $X$.

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Momentos alrededor de la media o centrales

Momentos centrales

Los momentos alrededor del valor medio $\bar{X}$ se llaman momentos centrales y se denotan por ${\mu }_n$. Son el valor esperado de la función (g(x)= (X - \overline{X})^n , n=0,1,2,\ldots) es decir,

$${\mu }_n=E[(X-\bar{X}{)}^n]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x-\bar{X}{)}^n{f}_X(x)dx$$

Casos especiales:

${\mu }_0=1$ es el áres de $f_x(x)$, mientras que ${\mu }_1=0$

Clasificación de momentos

• Momentos ordinarios (alrededor del origen): $E[X^n]$
• Momentos centrales(alrededor de la media): $E[(X-\bar{X}{)}^n]$
• Momentos generalizados(alrededor de un número cualquiera): $E[(X-a{)}^n]$
• Momentos absolutos(momentos alrededor del origen con los valores absolutos de la variable aleatoria): $E[|X{|}^n]$

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Algunos momentos importantes

Aparte de la media, algunos momentos particulares tienen nombres especiales y son los más comúnmente utilizados para describir las variables aleatorias. Ellos son:

Nombre	Descripción
Varianza / Desviación estándar	Medida de la dispersión
Sesgo	Medida de la inclinación
Curtosis	Medida del abultamiento