Variables aleatorias

Las variables aleatorias facilitan una manipulación numérica más robusta de los fenómenos aleatorios, y permiten extender el análisis a muchos más casos que los vistos hasta ahora. Herramientas como las funciones de densidad y de distribución acumulativa de probabilidad proveen descripciones completas de los modelos probabilísticos.

El problema inicial: Variable aleatoria

Por qué necesitamos variables aleatorias

Los conjuntos $S_1=\left\{\text{todos los equipos del campeonato nacional}\right\}$ o
$S_2=\left\{\text{los colores favoritos de los estudiantes de esta clase}\right\}$ son útiles en la descripción de ciertos eventos,
pero no permiten la manipulación numérica.

• Este espacio de eventos contiene conjuntos abstractos.
• Necesitamos números para sumar, restar, multiplicar, dividir...
• Necesitamos funciones para diferenciar, integrar...

"Aquí es útil, entonces, la variable aleatoria..."

Variable aleatoria

Definición

Definición de variable aleatoria

Para un espacio de eventos $S$, una variable aleatoria es cualquier regla que asocia cada resultado elemental de $S$ con un número.
Es decir, es una función cuyo dominio es el espacio (quizá abstracto) de eventos o muestras, y cuyo rango es algún subconjunto de los números reales.

La notación $X(s)=x$ significa que $x$ es el valor asociado por $X$ con el evento elemental $s$.

Pero… Una observación necesaria

Nota sobre el nombre

Las variables aleatorias ni son variables, ni son aleatorias.
$X(s)$ es una función y es determinística, pero describe el comportamiento de un fenómeno aleatorio subyacente.
(Por tanto, se trata de un nombre poco apropiado. En inglés: misnomer.)

Requisitos para la construcción de variables aleatorias

• Un espacio de probabilidades $(S,P)$: contiene todos los eventos elementales $S$ y sus probabilidades asociadas $P$.
• Una función de mapeo $X$: que mapea cada $s\in S$ a un único punto $x\in \mathbb{R}$.
• Una relación de dualidad de la probabilidad: si $B\subseteq \mathbb{R}$, entonces
  la probabilidad del evento $X(s)=B$ es equivalente a la del conjunto
  $A=X^{-1}(B)\in S$, que contiene todos los $s\in S$ que se mapean a $B$ bajo $X$.

$$X(s\in A)=BA=X^{-1}(B)\in SP(B)=P(A)$$

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Condiciones para que una función sea variable aleatoria

va será la abreviación de “variable aleatoria”. En inglés se utiliza rv, de random variable.

Algunas condiciones debe cumplir $X(s)$ para ser una va:

1. Una variable aleatoria es una función no multivaluada: todo punto en $S$ corresponde a un solo valor de la va.

   

   "Ejemplo negativo" Esto no representa el mapeo de una va.

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2. El conjunto $\{X\le x\}$ existe y es un evento para cualquier número real $x$.
   Corresponde a los puntos $s$ en $S$ para los que $X(s)\le x$.

   

Probabilidad acumulada

La probabilidad $P\{X\le x\}$ es igual a la suma de las probabilidades de todos los $s$ correspondientes a $\{X\le x\}$.

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3. Las probabilidades de los eventos $\{X=\mathrm{\infty }\}$ y $\{X=-\mathrm{\infty }\}$ son cero:

$$P\{X=-\mathrm{\infty }\}=0P\{X=\mathrm{\infty }\}=0$$

$X(s)$ puede ser $-\mathrm{\infty }$ o $\mathrm{\infty }$ para algunos $s$, pero su probabilidad será cero.

Importancia: Como se especifica más adelante, esto es necesario para que su "función de densidad" tenga un área total finita.

Variables aleatorias discretas

Definición

Una variable aleatoria discreta es una va cuyos valores posibles constituyen un:

• conjunto finito, o
• conjunto infinito enumerable.

Ejemplos

Ejemplo

• Las caras de un dado
• La población mundial
• Otros ejemplos que se mapean en $\mathbb{N}$

Asignación de probabilidades

En una variable aleatoria discreta, la asignación de probabilidades se hace en valores discretos, ya sean finitos o infinitos enumerables. En este caso, están mapeados en un subconjunto de $\mathbb{N}$.

Variables aleatorias continuas

Definición

Una variable aleatoria continua es aquella que cumple con las siguientes condiciones:

1. Su conjunto de valores posibles está formado por todos los números dentro de un intervalo de la recta real (por ejemplo, de $0$ a $+\mathrm{\infty }$), o por la unión disjunta de varios intervalos.
2. Ningún valor individual tiene una probabilidad positiva. Es decir, para cualquier valor $c$, se cumple que:$$P(X=c)=0$$

Ejemplo

La estatura de los habitantes de un país es una variable aleatoria continua.
Pero, ¿cuál es la probabilidad de que una persona mida exactamente $52\pi$ cm?

La respuesta es cero. En una variable aleatoria continua, la probabilidad de que ocurra un valor exacto es cero. Figura: En una variable aleatoria continua, la asignación de probabilidades se hace en una sección o toda la recta real. Debido a que hay infinitos posibles resultados, la probabilidad de ocurrencia de exactamente un valor en particular es cero.